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概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)

习 题 一

1.设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算式表示下列事件： （1） A发生而B与C都不发生； （2） A，B，C至少有一个事件发生； （3） A，B，C至少有两个事件发生； （4） A，B，C恰好有两个事件发生； （5） A，B至少有一个发生而C不发生； （6） A，B，C都不发生.

解：（1）ABC或A?B?C或A?（B∪C）. （2）A∪B∪C.

（3）（AB）∪（AC）∪（BC）. （4）（ABC）∪（ACB）∪（BCA）. （5）（A∪B）C. （6）A?B?C或ABC.

2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式： （1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?； （2）AB+AB +AB+AB?AB= AB；（3）A-(B+C)= (A-B)-C. 证明：略.

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3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求： （1） A发生但B不发生的概率； （2） A，B都不发生的概率； （3） 至少有一个事件不发生的概率.

解（1） P（AB）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4； (2) P(AB)=P(A?B)=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3； (3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.

4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 （1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.

解：（1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72

5.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。 解：8/15

6.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。

（1）3本一套放在一起； （2）两套各自放在一起； （3）两套中至少有一套放在一起. 解： （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21

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7. 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：

（1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.

解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为

444C12C8C4?12! (4!)3（1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”

3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共有数为

3！·

故有

P（A）=

9!12!/=16/55 23(3!)(4!)9!9!= (3!)3(3!)29!种分法，由乘法原理，A包含基本事件(3!)3（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到

44同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为C19C8C4?9!，故由1!4!4!乘法原理，B包含样本总数为3·

9!.1!4!4!

故有 P（B）=

3·9!12!/3=3/55 ?4！?2?4！?8.箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只. （1） 任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率（m≤a,n≤

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b）;

(2) 第k次才取到白球的概率（k≤b+1）; （3） 第k次恰取到白球的概率.

解 （1）可看作一次取出m+n只球，与次序无关，是组合问题.

?n从a+b只球中任取m+n只，所有可能的取法共有Cma?b种，每一种取

法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a只白球中取m只，共有Cma种不同的取法，从b只黑球中取n只，

n共有Cb种不同的取法.由乘法原理知，取到m只白球，n只黑球的取nC法共有Cm ab种，于是所求概率为

nCmaCbp1=m?n.

Ca?b

(2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种取法即是从a+b个不同元素中任取k个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有Pak?b个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k-1次都取到黑球，从b只黑球中任取k-1只的排法种数，有Pbk?1种，第k次抽取的白球可为a只白球中任一只，有Pa1种不同的取法.由乘法原理，前k-1次都取到黑球，第k次取到白球的取法共有Pbk?1Pa1种，于是所求概率为

1Pbk?1Pap2=k.

Pa?b

(3) 基本事件总数仍为Pak?b.第k次必取到白球，可为a只白球中任一只，有Pa1种不同的取法，其余被取的k-1只球可以是其余a+b-1只球中的任意k-1只，共有Pak??b1?1种不同的取法，由乘法原理，第k次

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