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《数学分析》教案

第八章 不定积分

§1 不定积分概念与基本积分公式

微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。

一 原函数与不定积分

（一） 原函数

定义1 设函数f(x)与F(x)在区间I上有定义。若

F?(x)?f(x)， x?I，

则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。

2如：x是x在R上的一个原函数；?13311cos2x， cos2x?1，sin2x，?cos2x等都有是sin2x在22R上的原函数——若函数f(x)存在原函数，则其原函数不是唯一的。

问题1 f(x)在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ 问题2 若函数f(x)的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 定理1 若f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上存在原函数F(x)。

证明：在第九章中进行。

说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设F(x)是f(x)在在区间I上的一个原函数，则（1）设F(x)?C是f(x)在在区间I上的原函数，其中C为任意常量（若f(x)存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2）f(x)在I上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。

证明：由定义即可得。

（二） 不定积分

定义2 函数f(x)在区间I上的原函数的全体称为f(x)在I上的不定积分，记作：

?f(x)dx

其中??积分号；f(x)??被积函数； f(x)dx??被积表达式；x??积分变量。

注1

??f(x)dx是一个整体记号；

是一个函数族?F(x)?C?，其中C是任意常数，于是，记为：

注2 不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分

?f(x)dx=F(x)?C。

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此时称C为积分常数，它可取任意实数。故有 [f(x)dx]??f(x)——先积后导正好还原； 或 d 或

??f(x)dx?f(x)dx。

?f?(x)dx??df(x)?2f(x)?C——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。

f(x)?C。

1x3?C， ?sin2xdx??cos2x?C。 如： ?xdx?23不定积分的风何意义： 若F(x)是f(x)的一个原函数，则称y?F(x)的图象为f(x)的一条积分曲线。于

是，f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移

所得一载积分曲线组成的曲线族，如左图。

结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。

注： 在求原函数的具体问题中，往往是先求出全体原函数，然后从中确定一个满足条件

F(x0)?y0（称之为初始条件，一般由具体问题确定）的原函数，它就是积分曲线族中通过点(x0,y0)的那条积分曲线。如：见P179.

二 基本积分表

由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因

此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探。首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式：

x??1?C，(???1,x?0)； 1.?0dx?C；2.?1dx??dx?x?C；3.?xdx???1?4.x1xx?xdx?lnx?C，(x?0)；5.?edx?e?C； 1ax?C， (a?0,a?1)；7.?cosaxdx?sinax?C，(a?0)； 6.?adx?alna8.sinaxdx???1cosax?C，(a?0)；9.?sec2xdx?tanx?C； a210.cscxdx??cotx?C；11.secx?tanxdx?secx?C； ??12.cscx?cotxdx??cscx?C；13.??dx1?x2arcsinx?C??arccosx?C1； 14.dx?1?x2?arctanx?C??arccotx?C1。 注意：上述基本积分公式一定要牢记，因为其它函数的不定积分经运算变形后，最终归结为这些基本不定积分。另外，还须借助一些积分法则才能求出更多函数的不定积分。

定理3 若函数f(x)与g(x)在区间I上都存在原函数，k1,k2 为两个任意常数，则

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k1f(x)?k2g(x)也存在原函数，且 ?[k1f(x)?k2g(x)]dx?k1?f(x)dx?k2?g(x)dx（积分的线

性）。

证明：由定义即得。

注：线性法则的一般形式为：

??ki?1nifi(x)dx??ki?fi(x)dx。

i?1n例1 p(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x?an, 则p(x)dx??a0n?1a1nax?x???n?1x2?anx?C。 n?1n2x4?12x32dx??(x?1?2)dx??x?2arctanx?C。 例2 ?23x?1x?1dxcos2x?sin2x22?dx?(cscx?secx)dx 例3 ?2222??cosxsinxcosxsinx ??cotx?tanx?C。

1111(sin4x?sin2x)dx?(?cos4x?cos2x)?C 2?2421 ??(cos4x?cos2x)?C。

8例4

?cos3x?sinxdx?例5

x?x22x?2x2x?2x(10?10)dx?(10?10?2)dx?[(10)?(10)?2]dx ??? ?1(102x?10?2x)?22?C。 2ln10