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高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率

一、基础知识

1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Anm表示，Anm=n(n-1)…(n-m+1)=

n!,其中m,n∈N,m≤n,

(n?m)!注：一般地An0=1，0！=1，Ann=n!。

Ann4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。

n5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cnm表示：

mCn?n(n?1)?(n?m?1)n!?.

m!m!(n?m)!nk?1mn?mmmn?1k?Cn?C?C6．组合数的基本性质：（1）Cn；（2）Cn；（3）；（4）Cn?1?Cn?1nnk?1kmn?kkC?C???C??Cn?2n；（5）Ckk?Ckk?1???Ckk?m?Ckk?m?1；（6）CnCk?Cn?m。

0n1nnnnk?07．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为Crn??11。

[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有Crn??11种。故定理得证。

r推论1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为Cn?r?1.

1

推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为Cnm?m?1.

0n1n?12n?22rn?rrnna?Cnab?Cnab???Cnab??Cnb.其中8．二项式定理：若n∈N+,则(a+b)n=Cnrn?rrrab,Cn第r+1项Tr+1=Cn叫二项式系数。

9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一

m试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发

n生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.

10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果

m有m种，那么事件A的概率为p(A)=.

n11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).

12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为A。由定义知p(A)+p(A)=1.

13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1?A2? … ?An)=p(A1)?p(A2)? … ?p(An).

15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=Cnk?pk(1-p)n-k.

17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，则称表 ξ x1 x2 x3 … xi … p p1 p2 p3 … pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差，简称方差。D?叫随机变量ξ的标准差。

18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这

kpkqn?k, ξ的分布列为 个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)=Cn 2

ξ p

0 00nCnpq 1 11n?1Cnpq … … xi kCnpkqn?k … … N nnCnp 此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.

19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，Eξ=

1q，Dξ=2(q=1-p). pp二、方法与例题

1．乘法原理。

例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？ [解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×…×3×1=

(2n)!. n2?(n!)2．加法原理。

例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？

2[解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，有C4-1=53种可能；3）3个电阻断路，有C4=4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11

种可能。 3．插空法。

例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？

[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有A66种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置

6?A74=604800种方式。 中选出4个安排舞蹈有A74种方法，故共有A64．映射法。

例4 如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？

[解] 设S={1,2,…,14}，S'={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2

'''''''',a3?S',a1'?a2?a3,a3)?T'，令,a3≥3},T'={(a1',a2)∈S'|a1',a2},若(a1',a2''a1?a1',a2?a2?2,a3?a3?4，则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从T'到T的映射，它显然是单''''?2,a3?a3?4，则(a1',a2,a3)?T'，从而此映射也射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令a1?a1',a2?a23是满射，因此是一一映射，所以|T|=|T'|?C10=120，所以不同取法有120种。

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