内容发布更新时间 : 2024/5/9 21:57:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2．3.1 等比数列(二)

学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．

知识点一 等比数列通项公式的推广

思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 等比数列也有类似变形吗？

思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？

梳理 公比为q的等比数列{an}中，an＝a1q如下：

??a1＞0，当?

?q＞1???a1＜0，当?

?q＞1?

n－1

＝·q.{an}的单调性由a1，q，q－1共同确定

a1

qn

??a1＜0，或?

?0＜q＜1???a1＞0，或?

?0＜q＜1?

时，{an}是递增数列；

时，{an}是递减数列；

q＜0时，{an}中的项交替为正值或负值； q＝1时，{an}是常数列．

知识点二 由等比数列衍生的等比数列

思考 等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；

1

(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．

an梳理 (1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若

k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列．

1bn(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列．

anan

知识点三 等比数列的性质

思考 在等比数列{an}中，a5＝a1a9是否成立？a5＝a3a7是否成立？an＝an－2an＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？

梳理 一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋)． 若m＋n＝2k，则am·an＝ak(m，n，k∈N＋)．

2

2

2

2

类型一 等比数列性质的应用 例1 已知数列{an}为等比数列．

(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；

(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．

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反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．

跟踪训练1 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值． (2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

类型二 灵活设项求解等比数列

例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

反思与感悟 合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，

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