内容发布更新时间 : 2024/5/17 18:01:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
空间中讨论问题的，故分析力学的理论及方法在物理学的各领域有广泛的应用，现代的场论都好似拉格朗日形成的，分析力学在物理学中有着重要的地位。
最后讨论一下哈密顿动力学与拉格朗日动力学的关系。在处理实际问题中哈密顿动力学不如拉格朗日动力学方便，拉格朗日动力学中从拉格朗日函数可直接写出力学体系的运动方程——拉格朗日方程；哈密顿动力学中则必须从拉格朗日函数转到哈密顿函数才可写出力学体系的运动方程——哈密顿正则方程，从哈密顿正则方程消去广义动量的结果其实不过是从另一途径达到拉格朗日方程，这样做的结果是绕了一个大圈子。
第五章习题
5.1 试用虚功原理解3.1题。 5.2 试用虚功原理解3.4题。
5.3 长度同为L的轻棒四根，光滑地联成一菱形ABCD。AB、AD两边支于同一水平线上相距为2a的两根钉上，BD间则用一轻绳联结，C点上系一重物W。设A点上的顶角
A为2a，试用虚功原理求绳中张力T。
??laalTlCTlW第5.3题图
5.4 一质点的重量为W，被约束在竖直圆周
2x2—y—r2= 0
上，并受一水平斥力k2x的作用，式中r圆的半径,k为常数。试用未定乘数法求质点的平
衡位置及约束反作用力的量值。
5.5 在离心节速器中，质量为m2的质点C沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速?
绕该轴转动。试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。
aBmA?aDm1mC5.5题图5.6 试用拉格朗日方程解4.10题。
5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3。
5.8 一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速?转动。管中有一质量为开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，m的质点。
试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。
5.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为?的圆锥面内运动。试以r,?为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。
zrz?r
O?yx第5.9题图5.10 试用拉格朗日方程解2.4题中的?a?及?b?。 5.11 试用拉格朗日方程求3.20题中的a及a。
25.12 均质棒AB，质量为m，长为2a,其A端可在光滑水平导槽上运动。 而棒本身又可
在竖直面内绕A端摆动。如除重力作用外，B端还受有一 水平的力F的作用。试用拉割朗日方程求其运动微分方程。如摆动的角度很小，则又如何？
? m?a??cos???ax 如?很小，则
?2sin??F答：m???a?cos??a?x2?
?k2???2Facos??mgasin????F ???a?xm???x4??2F
a??g??3m?式中x为任一瞬时A离定点O的距离，?为任一瞬时棒与竖直线间所成的角度，k 为绕质心的回转半径.
5.13行星齿轮机构如右图所示.曲柄OA带动行星齿轮Ⅱ在固定齿轮Ⅰ上滚动.已知曲柄的质量为m，且可认为是匀质杆.齿轮Ⅱ的质量为 m，半径为r，且可认为是匀质圆盘.至
12于齿轮Ⅰ的半径则为R.今在曲柄上作用一不变的力矩M.如重力的作用可以忽略不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动.
yrARMll?Olx
第5.13题图
5.14质量为m的圆柱体 S放在质量为 的圆柱体P上作相对滚动，而P则放在粗糙平面上.已知两圆柱的轴都是水平的，且重心在同一竖直面内.开始时此系统是静止的.若以圆柱体
P的重心的初始位置为固定坐标系的原点，则圆柱S的重心在任一时刻的坐标为
x?cm???3??m?sin?
2???m?y?ccos?
试用拉格朗日方程证明之.式中c为两圆柱轴线间的距离，?为两圆柱连心线与竖直向上的直线间的夹角.
5.15质量为M、半径为a的薄球壳，其外表面是完全粗糙的，内表面则完全光滑，放粗糙水平着上.在球壳内放一质量为m、长为 2asin?的匀质棒.设此系统由静止开始运动，且在开始的瞬间棒在通过球心的竖直平面内，两端都与球壳相接触，并与水平线成?角.试用拉格朗日方程证明在以后的运动中，此棒与水平线的夹角?满足关系
??5??3m??3cos??sin???9mcos?cos??a??22222?6g?5??3m??cos??cos??cos?
Oa2??第5.15题图 5.16半径为r的匀质小球，可在一具有水平轴、半径为R的固定圆柱的内表面滚动.试求圆球平衡位置作微振动的方程及其周期. 5.17质点M1，其质量为m1的绳系另一质点M2，用
l1的绳子系在固定点O上.在质点M1上，用长为l2，其
m2.以绳与竖直线所成的角度?1与 ?2为广义坐标，求此
系统在竖直平面内作微振动的运动方程.如m=m=m，l=l=l，试再求出此系统的振动
1221周期.
O?1M1
M2?2第5.17题图
5.18在上题中，如双摆的上端不是系在固定点O上，而是系在一个套在光滑水平杆上、质量为2m的小环上，小环可沿水平杆滑动.如m1=m2=m，l=l2=l，试求其运动方程及其
1周期.
5.19质量分别为m1、m2 的二原子分子、平衡时原子间的距离为a，它们的相互作用力是准弹性的，取二原子的连线为x轴，试求此分子的运动方程。