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2.2.3 2008年真题

【题目】1. 轨道角动量的三个分量Lx，Ly和Lz是否有共同本征态？若果有，

写出一个来；如果没有，请说明为什么

【解题】

^?^^? 没有，?Lx,Ly??iLz 不对易，故无共同本征态

??

【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于

基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。

2【题目】2. 已知哈密顿量H1??22??2?V(r)的本征值为En，相应的本征函数

为?n(r)，求H2?? 【解题】

2??2?V(r)?C的本征值和本征函数（C为常数）。

H1?n(r)?En?n(r)H2?n(r)?(H1?C)?n(r)?H1?n(r)?C?n(r) ?En?n(r)?C?n(r)?(En?C)?n(r) 由上式知，H2的本征函数为?n(r)，本征值为En

【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出

^^^^^?C

相关结果

【题目】3. 计算对易关系[p2,Lz]??;[Lx?iLy,Lz]?? 【解题】 （1）

?^2^??^^2??^^?^^?^^??p,Lz????Lz,p????Lz,p?p?p?Lz,p?????????????

??(ipyi?ipxj)p?p(ipyi?ipxj)??i(pypx?pxpy?pypx?pxpy)?0^^^^^^^^^^^^^^

（2）

^^^^?^??^^??^^?Lx?iLy,Lz???Lx,Lz??i?Ly,Lz??iLy?iLx ???????【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与

动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如

???????????????A，BC???A,B?C?B?A,C?，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算???????符表示出来，并化简得出结果

【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。 【解题】

x2?(x?x)2,p2?(p?p)2

对线性谐振子

x?p?0

?x2?x2,p2?p2

p1p2122H??m?x??m?2x22m22m2^^2

利用ab?a?b且xp? 22有Hmin

p21?2?m?2x2?2m2x2?p2???

2【分析】了解一个力学量的差方平均值等于该力学量算符平方的平均值与平

均值平方之差，再利用两算符满足的对易关系，通过不等式得出最小的线性谐振子能量即为它的基态能量。

【题目】5. 设A和B为两个厄米算符，C?i[A,B]。证明：在A或B的本征

态中，算符C的平均值为零。

【解题】

设

^A?1?a?1^^

^?^^?^由于

A、B都为厄米算符有：A?A,B?B

^那么：

?1C?1^^^^^^?^^???1i?A,B??1?i?1(AB?BA)?1??^^^?^^^?i?1AB?1?i?1BA?1?i?1AB?1?i?1BA?1?ia?1B?1?ia?1B?1?0同理，对B的本征态也有相同的结果

所以在A或B的本征态中，算符C的平均值为零。

^

^^