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高三数学解答题难题突破 圆锥曲线的切线问题

【题型综述】

圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数y?f(x)，利用导数法求出函数y?f(x)在点(x0,y0)处的切线方程，特别是焦点在y轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式??0，即可解出切线方程，注意关于x（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.

【典例指引】

类型一 导数法求抛物线切线

x2例1 【2017课表1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．

4（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM?BM，求直线AB的方程．

类型二 椭圆的切线问题

x2y25例2（2014广东20）（14分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为.

ab3（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

类型三 直线与椭圆的一个交点

x2y2例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为4，且过点P(2，3).

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设Q(x0,y0)(x0y0?0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,22),连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点P(2，3) ?23222??1a?b?c 且 a2b222x2y2?1 ? a?8 b?4 c?4 椭圆C的方程是?842（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

8x0y?0?则QG的直线方程：

8y0x0?x0x?化简得x0y0x?(x02?8)y?8y0?0

22x?2y?8， 00又

x2y2??1 所以x0x?2y0y?8?0带入84求得最后??0

所以直线QG与椭圆只有一个公共点. 类型四 待定系数求抛物线的切线问题

例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为32．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中A,B为切点． 2(1) 求抛物线C的方程；

(2) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AF?BF的最小值．