内容发布更新时间 : 2025/1/6 18:23:59星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第7讲 立体几何中的向量方法

1．空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法(a，b分别为l1，l2的方向向量)

范围 求法 a与b的夹角β (0，π) cos β＝l1与l2所成的角θ ?0，π? ??2??|a·b|cos θ＝|cos β|＝ a·b |a||b||a||b|(2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为

φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|e·n|

． |e||n|

(3)二面角的求法

a．如图①，AB，CD是二面角αlβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小

θ＝〈AB，CD〉．

→→

b．如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的

大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 2．点到平面的距离的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝→|AB·n|

. |n|

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )

?π??π?(4)两异面直线夹角的范围是?0，?，直线与平面所成角的范围是?0，?，二面角的范围

2?2???

是[0，π]．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

(教材习题改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A.?

33??3

，，－? 33??3

B.?

33??3

，－，?

33??3

C.?－

?

?333?，，? 333?

D.?－

?

?333?，－，－? 333?

→→

解析：选D.因为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)． 经验证，当n＝?－

??333?

，－，－?时， 333?

n·AB＝

所以?－

→

3333→

－＋0＝0，n·AC＝＋0－＝0. 3333

333?

，－，－?是平面ABC的一个单位法向量． 333?

??

正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为( ) πA. 6πC. 4解析：选A.

以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，3?3?

22)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2?，，22?.

?22?→

所以AC1＝(－2，0，22)，

B.π 3

πD. 12

AC2＝?－，

→

?1?23?，22?， 2?

设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cos θ＝π?π?又θ∈?0，?，所以θ＝. 2?6?

AC1·AC2

→→

|AC1||AC2|

→→

＝

1＋0＋83

＝.

23×32

已知正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．

→→→

解析：以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正方向建立空间直→→

角坐标系，设正方体棱长为1，则CD1＝(－1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1＋0－1→→

1)，cos〈CD1，B1D〉＝＝0，所以两直线所成的角为90°.

2×3答案：90°

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，则二面角C-PB-D的大小为________．

解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设PD＝DC＝1，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)．

→→

所以DP＝(0，0，1)，PC＝(0，1，－1)， →

DB＝(1，1，0)，BC＝(－1，0，0)，

设平面PBD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， →→

由n1·DP＝0，n1·DB＝0得

??z1＝0，? ?x＋y＝0，11?

→

令x1＝1，得n1＝(1，－1，0)．

设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

??y2－z2＝0，→→

由n2·PC＝0，n2·BC ＝0得?

?－x2＝0，?

令y2＝1得n2＝(0，1，1)． 设二面角C-PB-D的大小为θ，则 |n1·n2|1

cos θ＝＝，

|n1||n2|2所以θ＝60°.