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2007年-2013年河南专升本高数真题及答案

30.设f(x)?e2x?1，则 f(2007)(0)?_________ 解：f(n)(x)?2ne2x?1? f(2007)(0)?22007e?1。

?x?3t?1dy31.设?，则?__________ 2dxt?1?y?2t?t?1dy4t?1dy?? 解：?1。 dx3dxt?132. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，b?_____ 解：f?(x)?2ax?b?0?2a?b?0；a?b?2?a??2;b?4。

f?(x)33. ?dx? _________

f(x)f?(x)df(x)解：?dx???ln|f(x)|?C。

f(x)f(x)34．?1?x2dx?_________

011?解：?1?x2dx?S圆?。

044?????35.向量a?3i?4j?k的模|a|?________

???解：|3i?4j?k|?9?16?1?26。

36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则m?______

??解：n1?{1,2,?5};n2?{4,3,m}?4?6?5m?0?m?2。 37.设f(x?y,xy)?x2?y2，则f(x,y)?________

解：f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y。

1 38.已知I??220dy?1?y2yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______

??2,y?x?1?y2? 解：D??(x,y)|0?y?2??????22,0?y?x???(x,y)|?x?1,0?y?1?x2?，所 ??(x,y)|0?x?22????以次序交换后为??220dx?f(x,y)dy??2dx?02x11?x20f(x,y)dy。

??11?1??39.若级数?收敛，则级数??的和为 _______ ??uun?1?nn?1unn?1??1?11??111?1?11?????解：Sn??，而lim?0，??????????uu??u???n??un?12??1?2u3??unun?1?u1un?11所以S?limSn?。

n??u140.微分方程y???2y??y?0的通解为________

解：有二重特征根1，故通解为y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）。 得评卷人 分

2007年-2013年河南专升本高数真题及答案

三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.

41.若数列?xn?单调，则

?xn?必收敛.

( )

解：如数列?n?单调，但发散，应为×。

42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在，使. ??(a,b)f?(?)?0( )

解：如y?x2在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得f?(?)?0，应为×。

x?sinx由洛比达法则1?cosxsinx??????lim?lim??1. ( ) 43.limx??x?sinxx??1?cosxx???sinxsinx1?0?x?sinxx?1。解：第二步不满足或，是错误的，事实上lim?limx??x?sinxx??sinx0?1?x应为×。

ln2344.. 0??1?e?2xdx?ln202( )

ln23解：因0?1?e?2x?1，由定积分保序性知：0??1?e?2xdx?ln2?ln2，

02应为√。

45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( )

解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。

得评卷人

分 四、计算题（每小题5分，共40分）

46．求lim?xsinx.

x?0 解： limx?x?0sinx?lime?x?0sinxlnx?ex?0limsinxlnxsinx~x??ex?0?limxlnx

lnxlimx?0?1x??x?0?lim?e???e?1x1x2?e?limxx?0??e0?1。

47.求函数y?x2?3dy1?x的导数.

dx1?x1?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分） 3121??11? 两边对x求导得：y????，-------（3分） ?yx3?1?x1?x??解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|?2007年-2013年河南专升本高数真题及答案

?211?即y??y??，------（4分） ???x3(x?1)3(x?1)?dy1?x?211??x23故 。-----（5分） ????dx1?x?x3(x?1)3(x?1)?48.求不定积分?[e2x?ln(1?x)]dx. 解：?[e2x?ln(1?x)]dx?12xed(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） 2?1x?e2x?xln(1?x)??dx -----（3分） 21?x11???e2x?xln(1?x)???1?dx--（4分） ?21?x??1?e2x?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分） 249.计算定积分??02?2cos2xdx .

?解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cos2x，所以

??02?2cos2xdx??04cos2xdx??2|cosx|dx-----（2分）

0??2?cosxdx?2??cosxdx------（4分）

2?20??2sinx?2sinx??2?2?4。-----（5分）

2?20?50.设z?f(esiny,3xy)，且f(u,v)为可微函数，求dz.

解：令exsiny?u,3x2y?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得 dz?fu?(u,v)du?fv?(u,v)dv?fu?d(exsiny)?fv?d(3x2y)----（3分） ?fu?(exsinydx?excosydy)?fv?(6xydx?3x2dy)------（4分） ?(exsinyfu??6xyfv?)dx?(excosyfu??3x2fv?)dy---（5分） 51．计算??x2dxdy，其中D为圆环区域：1?x2?y2?4.

Dx2解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x2?y2?1、x2?y2?4用极坐标

y 表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为

?(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）

2?2r?2 222故??xdxdy??d??rcos??rdr----（3分） r?1 01Dx

o422?22?rcos2?d? ??cos2?d??r3dr??01041 ?152?152?22cos?d??2cos?d?---（4分） ??图07-1 00482?152?15115? ??(1?cos2?)d??(??sin2?)?。---（5分）

8082402x52．将展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 24?x2007年-2013年河南专升本高数真题及答案

解： 因

2x11???22?x2?x4?xx?(?1,1)。

?n1x2(1?)2?1x2(1?)2；---（2分）

?1??xn1?xn?0?1?x??x?所以????x?(?2,2)；?????x?(?2,2)。--（3分）

xn?0?2?xn?0?2?1?1?22nn??1?(?1)n?n2x1??x?1??x??????????????xx?(?2,2)--（4分） 故2n?1??2n?0?2?2n?0?2?4?x2n?0??1n ??n?0?12n?1253．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解.

1?2xy?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分） 解：方程可化为y??2x11?2x2xy?0的通解为y?Cxe，---（2分） 它对应的齐次方程y??x2设原方程有通解y?C(x)x2e，代入方程得C?(x)x2e?1，

1x1x1x2n?1x?(?2,2)。--（5分）

1?x?即 C(x)?2e，--（3分）

x11?1?x所以 C(x)??2edx?ex?C，---（4分）

x故所求方程的通解为y?Cxe?x2。---（5分） 得评卷人

五、应用题（每题7分，共计14分） 分

54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容

积为V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,

问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？

V 解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为，又设造价为z，---（1分）

xy由题意可得

V2bV2bV?axy??(x?0,y?0)；---（3分） z?axy?2b(x?y)xyyx?z2bV?z2bV?ay?2; 而?ax?2;在定义域内都有意义. ?xx?yy2bV??z?ay??02?2bVx??x令?得唯一驻点x?y?3，-----（5分）

?z2bVa??ax??0?y2??y由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?321x2bV就是使造价最小的取a