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高等数学竞赛 不定积分

不定积分的概念与性质

1、设f?(sin2x)?cos2x?tan2x(0?x?1)，求f(x) 2、设f?(lnx)?1?x，求f(x)

3、已知f?(?x)?x[f?(x)?1]，试求函数f(x) 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)

cos2x1dxsinx?cosxdxdx（2）（3）（4）?1?sinxcosx?x2?2x?5?sin2x?2cos2x?(cosx?sinx)5dx

322、求下列不定积分 （1）

?(x?x)e(x?3x?1)edx （2）?(xlnx)(lnx?1)dx

2x2xarctan（3）

?1?x21xdx （4）

lnx?2cos2x?sinx （5）dx?xlnx(1?xln2x)dx ?cosx(1?cosxesinx)二、利用第二换元积分法求不定积分

1、三角代换求下列积分 （1）

?(xxdx2?1)1?x2 （2）

?x3dx(1?x)232 （3）

?dxx2?9 （4）dx?1?1?x2

x22、倒代换（即令x?）求下列积分 （1）

1t?x2dxa2?x2(a?0) （2）?dx 7x(x?2)x3、指数代换（令a?t,则dx?1dt?） lnat2xdx（1）? （2）?xx1?2?44、利用分部积分法求不定积分

dx1?e?e?ex2x3x6

22x3（1）(x?1)edx （2）(x?2x?5)cos2xdx

???232（3）xarccosxdx （4）x(lnx)dx

??x（5）ecosxdx

1

5、建立下列不定积分的递推公式 （1）In?1n?(x2?a2)ndx （2）In??tanxdx

有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）

?x?2dxdxdx （2） （3） 222??x?4x?3(1?2x)(1?x)x(x?1)2、求下列不定积分

x2n?1dx2x3?1dx （3）?（1）? （2）?ndx （4）10100x?1x(2?x)(x?1)简单无理函数积分 1、

?x11dxx8?3x

??1x?x3dx 2、?dx

x?x?1x(x?1)三角有理式积分 1、4、

1?sinxdx 2、?1sinxdx 3、?1?sinxdx sin3xx?sinx56sin4xcos2xcos3xdxsinxcosxdx dx 5、 6、???1?cosx含有反三角函数的不定积分

x2arccosxarctanxdx1、? 2、dx 2?231?x(1?x)抽象函数的不定积分

?f(x)f2(x)f??(x)?f?(lnx)1、?? 2、dx ?dx??3?[f?(x)]xf(lnx)?f(x)?分段函数的不定积分

x?0;?1,?例如：设f(x)??x?1,0?x?1; 求?f(x)dx.

?2x,x?1?

2

高等数学竞赛 定积分

比较定积分大小 1、 比较定积分2、 比较定积分

?211lnxdx和?(lnx)2dx的大小

12?0ln(1?x)dx和?arctanxdx的大小

01?x1利用积分估值定理解题 一、估值问题 1、试估计定积分

???5?4(1?sin2x)dx的值

43332、试估计定积分二、不等式证明

xarctanxdx的值

1、证明不等式：1?2、证明不等式：2?三、求极限

121、

n???0?10exdx?e

1?x4dx?8 32?1?1lim?nx1xexndx 2、lim?dx

n???01?ex1?x2关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题

1、求下列导数： （1）F(x)??y0x3dt1?tt2x24；

（2）由方程

?edt??x2sintt0dt?1确定的隐函数y?f(x)的导数

dy dx2、设f(x)在[0,??)上连续且满足

?x2(1?x)0f(t)dt?x，求f(2)

3、设f(x)为关于x的连续函数，且满足方程

?x0x16x18f(t)dt??tf(t)dt???C，求

x8912f(x)及常数C.

4、求下列极限：

?（1）limx??0x20tesintdtxe6xt? （2）limx??0?x0(1?cost2)dtx52

3