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2014广州二模理科数学试题和答案WORD

17.(本小题满分12分)

(1) 解:由题意,得?0.02?0.032?x?0.018??10?1, ……………1分 解得x?0.03. ……………2分 (2)解:50个样本小球重量的平均值为

X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6(克). ……………3分

由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分

(3)解:利用样本估计总体,该盒子中小球重量在?5,15?内的概率为0.2,则??1?B?3,?. ?5? ……………5分 ?的取值为0,1,2,3, ……………6分

6448?4?1?1??4? P???0??C???,P???1??C3, ??????125?5??5??5?1250332121?4?2?1?3?1? P???2??C3,. ……………10分 ??P??3?C???3??????551255125?????? ∴?的分布列为:

233 0 1 2 ?

12 P 64 48 1

125125125125

……………11分

64481213?1??2??3??. ……………12分 125125125125513 (或者E??3??)

55∴E??0?18.(本小题满分14分)

(1)证明:取AB的中点M,连接EM,则AM?MB?1,

∵EF∥平面ABCD,EF?平面ABFE,平面ABCD平面ABFE?AB, ∴EF∥AB,即EF∥MB. ……………1分 ∵EF?MB?1

∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分 ∴EM∥FB,EM?FB.

在Rt△BFC中,FB?FC?BC?4,又FB?FC,得FB? ∴EM?2222. 2. ……………3分

3,AM?1,EM?2,

2 在△AME中,AE?22 ∴AM?EM?3?AE,

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∴AM?EM. ……………4分 ∴AM?FB,即AB?FB. ∵四边形ABCD是正方形,

∴AB?BC. ……………5分 ∵FBBC?B,FB?平面BCF,BC?平面BCF,

∴AB?平面BCF. ……………6分 (2)证法1:连接AC,AC与BD相交于点O,则点O是AC的中点, 取BC的中点H,连接OH,EO,FH, 则OH∥AB,OH?E1AB?1. 2DC1 由(1)知EF∥AB,且EF?AB,

2HO ∴EF∥OH,且EF?OH.

AMB ∴四边形EOHF是平行四边形.

∴EO∥FH,且EO?FH?1 .……………7分 由(1)知AB?平面BCF,又FH?平面BCF,

∴FH?AB. ……………8分

∵FH?BC,ABFBC?B,AB?平面ABCD,BC?平面ABCD,

∴FH?平面ABCD. ……………9分 ∴EO?平面ABCD. ∵AO?平面ABCD,

∴EO?AO. ……………10分 ∵AO?BD,EOBD?O,EO?平面EBD,BD?平面EBD,

∴AO?平面EBD. ……………11分 ∴?AEO是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分 在Rt△AOE中,tan?AEO?AO?2. ……………13分 EO ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分 证法2:连接AC,AC与BD相交于点O,则点O是AC的中点, 取BC的中点H,连接OH,EO,FH, 则OH∥AB,OH?EFz1AB?1.

D21 由(1)知EF∥AB,且EF?AB, HO2B ∴EF∥OH,且EF?OH. AMx ∴四边形EOHF是平行四边形.

∴EO∥FH,且EO?FH?1. ……………7分 由(1)知AB?平面BCF,又FH?平面BCF, ∴FH?AB.

∵FH?BC,ABCyBC?B,AB?平面ABCD,BC?平面ABCD,

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∴FH?平面ABCD.

∴EO?平面ABCD. ……………8分 以H为坐标原点,BC所在直线为x轴,OH所在直线为y轴,HF所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系H?xyz,则A?1,?2,0?,B?1,0,0?,D??1,?2,0?,E?0,?1,1?. ∴AE???1,1,1?,BD???2,?2,0?,BE???1,?1,1?. ……………9分 设平面BDE的法向量为n??x,y,z?,由n?BD?0,n?BE?0, 得?2x?2y?0,?x?y?z?0,得z?0,x??y.

令x?1,则平面BDE的一个法向量为n??1,?1,0?. ……………10分 设直线AE与平面BDE所成角为?, 则sin??cosn,AE?n?AEnAE?6. ……………11分 3 ∴cos??1?sin??23sin?,tan???2. ……………13分 3cos? ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分

19.(本小题满分14分)

(1)解法1:当n?2时,nan?1?Sn?n?n?1?,?n?1?an?Sn?1?n?n?1?,……1分 两式相减得nan?1??n?1?an?Sn?Sn?1?n?n?1??n?n?1?, ……………3分 即nan?1??n?1?an?an?2n,得an?1?an?2. ……………5分 当n?1时,1?a2?S1?1?2,即a2?a1?2. ……………6分 ∴数列?an?是以a1?0为首项,公差为2的等差数列.

∴an?2?n?1??2n?2. ……………7分 解法2:由nan?1?Sn?n?n?1?,得n?Sn?1?Sn??Sn?n?n?1?, ……………1分 整理得,nSn?1??n?1?Sn?n?n?1?, ……………2分 两边同除以n?n?1?得,

Sn?1Sn??1. ……………3分 n?1n8 / 14

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∴数列? ∴

S1?Sn??是以?0为首项,公差为1的等差数列.

1?n?Sn?0?n?1?n?1. n ∴Sn?n?n?1?. ……………4分 当n?2时,an?Sn?Sn?1?n?n?1???n?1??n?2??2n?2. ……………5分 又a1?0适合上式, ……………6分 ∴数列?an?的通项公式为an?2n?2. ……………7分 (2)解法1:∵an?log2n?log2bn, ∴bn?n?2an?n?22n?2?n?4n?1. ……………9分

∴Tn?b1?b2?b3??bn?1?bn?40?2?41?3?42???n?1??4n?2?n?4n?1,①

4Tn?41?2?42?3?43?①?②得?3Tn?4?4?4?012??n?1??4n?1?n?4n,② ……………11分

?4n?11?3n??4n?1?1?4nn?n?4??n?4?.

31?4n ……………13分 ∴Tn?1n?. ……………14分 3n?1?4?1?????9解法2:∵an?log2n?log2bn, ∴bn?n?2an?n?22n?2?n?4n?1. ……………9分

∴Tn?b1?b2?b3?由x?x?x?23n?bn?1?bn?40?2?41?3?42???n?1??4n?2?n?4n?1.

x?xn?1?x??x?1?, ……………11分

1?x012两边对x取导数得,x?2x?3x??nxn?1?nxn?1??n?1?xn?1?1?x?2. ………12分

令x?4,得4?2?4?3?4?0121n??n?1??4n?2?n?4n?1??3n?1?4?1?. ????9 ……………13分 ∴ Tn?1??3n?1??4n?1???. ……………14分 920.(本小题满分14分)

(1)解法1:由题意, 点M到点F的距离等于它到直线l的距离,

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故点M的轨迹是以点F为焦点, l为准线的抛物线. ……………1分

∴曲线E的方程为x?4y. ……………2分

解法2:设点M的坐标为?x,y?,依题意, 得MF?y?1,

即x??y?1??y?1, ……………1分

222 化简得x?4y.

∴曲线E的方程为x?4y. ……………2分

22 (2) 解法1: 设点B,C的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,依题意得,x1?4y1,x2?4y2.

22?y?kx?1,2 由?2消去y得x?4kx?4?0,

?x?4y,4k?4k2?1?2k?2k2?1. 解得x1,2?2 ∴x1?x2?4k,x1x2??4. ……………3分

直线AB的斜率kABx12?1y1?14x?2???1, x1?2x1?24 故直线AB的方程为y?1? 令y??1,得x?2?x1?2?x?2?. ……………4分 48, x1?2 ∴点S的坐标为?2????8,?1?. ……………5分 x1?2????8,?1?. ……………6分 x2?2? 同理可得点T的坐标为?2? ∴ST?2?8?x1?x2??88???2?? ?x1?2?x2?2??x1?2??x2?2? ?8?x1?x2?8?x1?x2?x?x??12. ……………7分

x1x2?2?x1?x2??48kk2∴ST2x1?x2???k2x1?x2???2?4x1x2k2?16?k2?1?k2. ……………8分

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