内容发布更新时间 : 2024/5/2 9:43:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第2讲 大题考法——立体几何的综合问题

考向一 平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题

【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直1

于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．

2

(1)证明：直线BC∥平面PAD；

(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积． [审题指导]

1

①看到AB＝BC＝AD，想到取AD的中点

2

②看到四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD③看到求VP-ABCD，想到体积公式，关键是确定高及底面积[规范解答] (1)证明：在平面ABCD内， 因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 故BC∥平面PAD.4分

1

(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，

2

1

?

2分 3分

得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 6分

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，

8分 9分

?

PM＝3x，PC＝PD＝2x．

取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD， 所以PN＝

14x. 2

10分

?

114

因为△PCD的面积为27，所以×2x×x＝27，

22解得x＝－2(舍去)或x＝2． 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23. 所以四棱锥P-ABCD的体积

11分

V＝×

1

3＋2

×23＝43.

12分

?处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．

?处易忽视通过侧面PAD⊥底面ABCD可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．

?处易忽视如何表示△PCD的面积，即以CD为底，高如何确定，导致思路不通．

[技法总结] 位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型

[变式提升]

2

1．(2018·天水二模)在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．

(1)求证：平面POB⊥平面PAC；

证明 由条件可知，

Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO． ∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°． ∴AC⊥BO．

∵PA＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD． 平面PAD⊥平面ABCD． 平面PAD∩平面ABCD＝AD，??

∵?PO⊥AD，??PO?平面PAD∴PO⊥平面ABCD．

又∵AC?平面ABCD，∴AC⊥PO． 又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB． ∵AC?平面PAC， ∴平面POB⊥平面PAC．

(2)求多面体ABCDPQ的体积． 解 取AB中点为E，连接CE，QE． 由(1)可知，PO⊥平面ABCD．

又∵AB?平面ABCD，∴PO⊥AB．

又∵AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面PAD．

131?1?2

∴VABCDPQ＝VPAD-QEC＋VQ-CEB＝S△PAD·|AE|＋S△CEB·|PO|＝×2×1＋?×1×2?×3＝

343?2?

3