内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:52:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题四 概率与统计规范答题示范

【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 [10，15) 2 [15，20) 16 [20，25) 36 [25，30) 25 [30，35) 7 [35，40) 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？ [信息提取]

?看到求X的分布列，想到依据题目中的信息确定X的取值及相应概率；

?看到求Y的数学期望达到最大值，想到利用数学期望公式，列出关于进货量n的函数关系式，由函数的单调性求解. [规范解答]

(1)由题意知，X所有的可能取值为200，300，500，1分 由表格数据知，

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，

若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.

……………………………………………………8分

当200≤n<300时，

若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.

……………………………………………………10分

所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.

……………………………………………………12分

[高考状元满分心得]

?写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中，写出X所有可能取值得分，第(2)问中分当300≤n≤500时和200≤n<300时进行分析才能得满分.

?写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问应写出求分布列的过程，第(2)问应写出不同范围内Y的数学期望. [解题程序]

第一步：确定随机变量的取值；

第二步：求每一个可能值的概率，列出随机变量的分布列； 第三步：根据题目所要解决的问题，确定自变量及其取值范围； 第四步：确定利润Y与进货量的函数关系；

第五步：求出利润的数学期望E(Y)与进货量n的关系； 第六步：利用函数的性质，求E(Y)的最大值； 第七步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.

【巩固提升】 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，

为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：

日需求量 频数 140 5 150 10 160 8 170 8 180 7 190 7 200 5 以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.

(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X的分布列及其数学期望；

(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？ 解 (1)若A水果日需求量为140千克，

5

则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)＝680(元)，且P(X＝680)＝＝0.1.

50若A水果日需求量不小于150千克，

则X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9. 故X的分布列为

X P E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743(元).

680 0.1 750 0.9 (2)设该超市一天购进A水果160千克，当天的利润为Y(单位：元)， 则Y的可能取值为140×5－20×2，150×5－10×2，160×5， 即660，730，800，

Y的分布列为

Y P 660 0.1 730 0.2 800 0.7 E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772(元).

因为772>743，所以该超市应购进160千克.

若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得X，Y的分布列分别为

X P 670 0.1 750 0.9