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【高中数学竞赛】1989-2000高中数学竞赛试题分类★★★

排列组合概率部分

一、选择题：

1989-4、以长方体8个顶点中的任意3个顶点为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）。

（A） 0 （B） 6 （C） 8 （D） 24

31989-4、易知，以长方体的8个顶点中的任意3个顶点的三角形共有C8个，且这些三

角形只能是直角或钝角三角形。而以长方体的每个顶点为直角顶点的三角形都是6个，所以

33在C8个三角形中共有6×8＝48个直角三角形。从而所求锐角三角形的个数为C8－48＝8

个。

1995-3、如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。在100个小伙子中，如果有某人不亚于其他99人，则称他为棒小伙子。那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（ ）。

（A）1个 （B）2个 （C）50个 （D）100个

1995-3、D．记每一个人Ai，为其身高xi，体重yi为它的坐标，即Ai(x,iyi)。当

y与x的函数关系（并不需要公式法表示）y?f(x)为严格单调时，Ai(i?1,2,?,100)便

全为棒小伙子。比如说：x1?x2???x100，y1?y2???y100，对任一个Ai(x,iyi)，有：

?xi?xi?1???x100，即由身高看，Ai不亚于Ai?1,Ai?2,?,A100，又由体重看，?y?y???y?yi?121?iAi不亚于A1,A2,?,Ai?1，因而为棒小伙子。

1998-6、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个

点中，共线的三点组的个数是（ ）。

（A）57 （B）49 （C）43 （D）37

8?7?28个；两端点皆为面的中心的26?112?3?3个；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有?18个，且没共线三点组共有221998-6、B．两端点皆为顶点的共线三点组共有

有别的类型的共线三点组。所以总共有28＋3＋18＝49个。

1998-9、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10 个数中取出3 个数，使其和为不小于10 的偶数，不同的取法有 种。

31998-9、51．从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有C5种；取出1个偶数和2个

不同的奇数的取法有C5C5种；从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有如

12

下9种不同取法：（0，1，3）；（0，1，5）；（0，2，4）；（1，2，3）；（0，1，7）；（0，2，6）；

312（0，3，5）；（1，2，5）；（1，3，4）。因此，符合题设要求的取法有C5 ?C5C5?9?51种。

1999-5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了。这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（ ）。

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 1999-5、（B）。设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛。由题意，可得

250?Cn?3?r?(6?2r)，即

(n?3)(n?4)?44?r，由于0?r?3，经检验可知，公当

2r?1时，n?13为正整数。

2000-8、设an是(3?x)n的展开式中x的系数(n?2,3,4,?)，则

limn???32333n??a?a???a3n?2???? 。 ?3n32?21??1，因此??18???

ann(n?1)?n?1n?2000-8．18

由二项式定理知，an?C?32nn?2limn???32333n??a?a???a3n?2??1??=18?lim?1?n?=18.

??n???

二、填空题：

1989-11、如果从数1,2,?,14中，按由小到大顺序取出a1、a2、a3，使同时满足

a2－a1?3与a3－a2?3，那么所有符合上述要求的不同取法有 种。

1989-11、令S??1,2,?,14?,S'??1,2,?,10?；

T??(a1,a2,a3)|a1,a2,a3?S,a2?a1?3,a3?a2?3?， T'??(a1',a2',a3')|a1',a2',a3'?S',a2'?a1'?3,a3'?a2'?3?。

作如正对应：(a1,a2,a3)→(a1',a2',a3')，(a1,a2,a3)?T。这里a1?a1'，

a2?a2'?2，a3?a3'?4。容易验证这是T与T'之间的一个对应。所以所求的取法种数，

恰好等于从S'中任意取出三个不同数的所有不同取法的种数，即C10（或写成120种）

1990-11、设n?1990，则

3

1246199819901?3Cn?32Cn?33Cn???3994Cn?3995Cn＝ 。 n211990-11、?。

2???1?原式????2?19902?1??C1990???2?19882?3??3?1998?1??????C1990?????2???2??2????199021998?3?1990???C1990?2???1990

?13???可以看出上式就是：

?2?2i????13?????22i???1990的展开式的实部，而

1990??????cos?isin?33???cos1990?1990?， ?isin33所以应填cos11990?，即?。

231990-12、8个女孩子和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共

有 种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）。

1990-12、

16!?25!。 9!假定女孩中有一具是A，对任何一个满足要求的圆排列，令从A打头按顺时针方向走成一个直排，示意图如下：??ABCD?。现在心O代表女孩所站的位置，以?代表男孩所站的位置，则在每个O后至少有两个?。让每个O“吸收了”它紧后的两个?，画成一个?，则每个O、?排列对应一个?、?排列：

后一排列的个数显然是从

7(8?25)?2?8?1?16个位置中选出7个位置的组合数，即C16种。以上表明男、女孩的7位置的排列共有C16种方法。对每种位置排列，女孩站上去有7！种方法（A固定站在首位），

男孩站上去有25！种方法，故总的排列方法数为：C167!25!?1991-10、19912000716!?25! 9!除以10，余数是 。

61991-10、19912000?(1?1990)2000

1?2000?1999?19902???19902000。 26?1?2000?1990?依照上述展式，只需考虑前三顶的和除以10的余数，故余数为880001。

1995-11、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用同一条棱的两端点异色。如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 。