内容发布更新时间 : 2024/5/20 15:04:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题12

12-1．计算下列客体具有10MeV动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。 解：（1）具有10MeV动能的电子，可以试算一下它的速度：

2Ek12?107?1.6?10?192mv?Ek?v???光速c，所以要考虑相对论效应。 ?312m9.11?10设电子的静能量为m0c2，总能量可写为：E?Ek?m0c2，用相对论公式：

24，可得：E2?c2p2?m0cp?1124E2?m0c?Ek2?2m0c2Ek cc?1.2?10?13m；

（2）对于具有10MeV动能的质子，可以试算一下它的速度：

2Ek2?107?1.6?10?197v???4.4?10m/s，所以不需要考虑相对论效应。 ?27m1.67?10利用德布罗意波的计算公式即可得出：

hh6.63?10?34?????9.1?10?15m。

?277?19p2mE2?1.67?10?10?1.6?1012-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为25.0kV，（1）用非

相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式：

hh6.63?10?34?????7.76?10?12m；

p2meU2?9.11?10?31?1.6?10?19?25?103（2）用相对论公式：设电子的静能为m0c2，动能为：Ek?eU，

2?E?eU?mchc?0?12由?，有：???7.67?10m。

22224222m0ceU?(eU)??E?cp?m0c12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm，试求两者的动量只比以及动能之比。 解：动量为p?h?因此电子与光子的动量之比为

pe

?1； p?ch()2p2?Eke2meh2me电子与光子的动能之比为????2.4?10?3

chEk?pc2me?c?12-4．以速度v?6?103m/s运动的电子射入场强为E?5V/cm的匀强电场中加速，为使电子波长

??1A，电子在此场中应该飞行多长的距离？

1hh2解：利用能量守恒，有：E?mv?eU，考虑到???，

p22mE11h2111h有：U?[()?mv2]?[()2?mv2]

e2m?22em?1019?(4.82?10?17?3.28?10?23)?150.6V， 3.2?太小，舍去UU150.6??0.301m。 有：d?dE50012-5．用电子显微镜来分辨大小为1nm的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以eV为单位） 解：由于需要分辨大小为1nm的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1nm，

利用匀强电场公式E??6.63?10?34由p?，有电子的动量为：p??6.63?10?25kgm/s； ?9?10p6.63?10?25试算一下它的速度：v???7.28?105m/s??光速c， ?31m09.11?10p2所以不考虑相对论效应，则利用Ek?，有电子动能的最小值：

2m0h(6.63?10?25)2?19Ek??2.4?10J?1.5eV。 ?312?9.11?1012-6．设电子的位置不确定度为0.1A，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为1keV，计算电子能量的不确定度。

?h6.63?10?34??6.63?10?23kg?m/s， 解：由不确定关系：?x??p?h，有?p??10?x0.1?10由E?Ek?mec2，可推出：

2Ek?p2?p?E??Ek?????p??p?m2mmee?e?。

3?192?10?1.6?10??6.63?10?23?1.24?10?15J?300.91?1012-7．氢原子的吸收谱线??4340.5A的谱线宽度为10解：能量E?h??为：?E???2A，计算原子处在被激发态上的平均寿命。

?hc??2，由于激发能级有一定的宽度?E，造成谱线也有一定宽度??，两者之间的关系

hc?2??，由不确定关系，?E??t?/2，平均寿命???t，则：

(4340.5?10?10)2???t?????5?10?11s。 8?122?E2hc??4?c??4?3.14?3?10?10?712-8．若红宝石发出中心波长??6.3?10m的短脉冲信号，时距为1ns(10?9s)，计算该信号的波长宽度??。

解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：?x?c?t，

?2?2??由不确定关系：?px??x?，有：?x? 2?px4?????22(6.3?10?7)2?∴?????1.323?10?3nm。 8?9c?t3?10?1012-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为?L???h，式中?L为粒子角动量的不确定度，??为粒子角位置的不确定度。

证明：当粒子做圆周运动时，设半径为r，角动量为：L?rmv?rp， 则其不确定度?L?r?P，而做圆周运动时：?x?r??， 利用：?P??x?h代入，可得到：?L???h。

12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在x?0到x?L/3区间的几率。设粒子的势能分布函数为：?U(x)?0，0?x?L ??U(x)??，x?0和x?L解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在0?x?L之间运动时，其定态归一化的波函

?2n?sinx，0?x?L??n(x)?数为：?， ll??(x)?0，x?0和x?L?n?2概率密度为：Pn(x)?22n?sinx，0?x?L lll3022n?112n?sinx??sin， ?ll32n?3l?112?32sin?0.195?19.5%。 如果是基态，n?1，则Pn(x)??sin2x??0ll32?312-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽L?10?14m。

粒子处在x?0到x?L/3区间的几率：Pn(x)?（1）质子的零点能量有多大？

（2）由n?2态跃迁到n?1态时，质子放出多大能量的光子？

h22n 解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：En?8mL2h2(6.63?10?34)2?13n?1时为零点能量：E1? ??3.29?10J。2?27?1428mL8?1.67?10?(10)（2）由n?2态跃迁到n?1态时，质子放出光子的能量为：

思考题12

12-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。

证明：设电子轨道的半径为rn，则电子轨道的周长为2?rn，需要证明2?rn?n?。

?0h2玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：rn?nr0?n 2?me2?0h2h1me4而电子的德布罗意波长：??（∵En?2） ?n222men8?h2mE022?0h22?0h可见电子轨道：2?rn?2?n?n?n?n?，是德布罗意波长的整数倍。 22?meme2212-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？

答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

12-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，S为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，F为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子

感光板A，S1、S2分别为上、下方电子束的 虚电子源，S1S?SS2，底板A离源S的距离 为D，设D??a，电子的动量为p，试求： （1）电子几率密度最大的位置； （2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。

h，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，pDDh?之间； 所以其几率最大的位置应该在????d2apDDh（2）相邻暗条纹的距离：?x???。

d2ap12-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图a所示，对应的总能量为4eV，若它处于另一个波函数（如图b所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？

答：（1）电子的德布罗意波长：??答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：

En?E0n2。在a图中，n?2，

知E2?E0?22?4eV，