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2019届上海市格致中学高三开学考数学试题

2018.09

一. 填空题 1. lim1?3?5?????(2n?1)?

n??2n2?n2. 已知l1:3x?2ay?5?0，l2:(3a?1)x?ay?2?0，并且l1∥l2，则实数a的值为 3. 二项式(3x?18)的展开式的常数项是 2x4. 函数y???arcsinx，x?[?1,1]的反函数是

5. 在四边形ABCD中，AC?(2,1)，BD?(3,?6)，则四边形的面积为 2?i，则a?b? 1?i7. 在平面直角坐标系中，记d为点P(cos?,sin?)到直线x?my?2?0的距离，当?、m变

6. 实系数一元二次方程x2?ax?b?0的一根为x1?化时，d的最大值为

8. 对于任意x?[3,??)，不等式ax?1?x2?2x?a恒成立，实数a的取值范围是 9. 学校从7名短跑运动员中选出4人参加运动会中的4?100米接力赛，其中甲不能跑第一 棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率是

10. 设A、B、C、D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面 积为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为

11. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y?2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为 直径的圆C与直线l交于另一点D，若AB?CD?0，则点A的横坐标为 12. 将集合M?{1,2,3,???,12}的元素分成互不相交的三个子集，M?ABC，其中A?{a1,a2,a3,a4}，

B?{b1,b2,b3,b4}，C?{c1,c2,c3,c4}，且ak?bk?ck，k?1,2,3,4，则满足条件的集合C有 个

二. 选择题

?x?2y?2?0?13. 若x、y满足约束条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为（ ）

?y?0?A. 4 B.5 C. 6 D. 7 14. 若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值为（ ） A.

3??? B. C. D. ?

44215. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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16. 在△ABC中，AB?5，AC?4，且AB?AC?12，设P为平面ABC上的一点，则PA?(PB?PC)的最小值是（ ） A. 1 B. ?

三. 解答题

17. 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，AB?AC?1，?BAC?90?，设AA1?a. （1）求a的值；

（2）求三棱锥B1?A1BC的体积.

18. 已知函数f(x)?|x|?ax?3（a?R）. （1）判断函数y?f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）讨论函数y?f(x)的零点的个数.

19. 如图，欲在一四边形花坛ABCD内挖一个等腰三角形的水池AQR，且AQ?AR，已 知四边形ABCD中，△ABD是等腰直角三角形，AB?AD?62米，△BCD是等腰三角 形，CB?CD，?BCD的大小为arctan页

653 C. ?7 D. ?

8424，要求△AQR的三个顶点在花坛的边缘上（即 72第

在四边形ABCD的边上），设点A到水池底边QR的距离为h米，水池的面积为S平方米. （1）求AC的长；

（2）试将S表示成关于h的函数，并求出S的最大值.

20. 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(2,0)、(?2,0)的距离之和等于26，设点P的 轨迹为C，斜率为k的直线l过点(2,0)，且与轨迹C交于A、B两点. （1）写出轨迹C的方程； （2）如果|AB|?6，求k的值；

（3）是否存在直线l，使得在直线x?3上存在点M，满足△ABM为等边三角形？若存在， 求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

21. 设数列{an}前n项和为Sn，若

1an?1??2（n?N*），则称{an}是“紧密数列”. 2an（1）若数列{an}是“紧密数列”，且a1?1，a2?3，a3?x，a4?4，求x的取值范围； 2（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0?d?a1，判断{an}是否为“紧密数列”，

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