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线线角、线面角、二面角的求法

1.空间向量的直角坐标运算律：

⑴两个非零向量a与b垂直的充要条件是

rra?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

⑵两个非零向量a与b平行的充要条件是

a·b=±|a||b|

2.向量的数量积公式

rr若a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),且a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3),则 （1）点乘公式： a·b=|a||b| cosθ

rrrrrr222222（2）模长公式：则|a|?a?a?a1?a2?a3，|b|?b?b?b1?b2?b3

rrrra1b1?a2b2?a3b3a?brrcosa?b??（3）夹角公式： 222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3（4）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

uuuruuur2|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2，dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

???①两条异面直线a、b间夹角???0,?

?2?在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为?，

uuuruuur则cos??|cos?AB,CD?|?AB?CD。

ABCD

例1 (福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）

A．arccos15 5B．

? 4D1C1B1A1EDGCC．arccos?10 D． 52AFB（向量法，传统法）

例2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA?平面ABC，?ACB?90?且

PA?AC?BC?a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．

解：（1）向量法

PABC（2）割补法：将此多面体补成正方体DBCA?D'B'C'P，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即

tan?DBA?PD?2．故填2． DBPD1C1B1点评：本题是将三棱柱补成正方体DBCA?D'B'C'P

A

CDB???②直线a与平面?所成的角???0,?(重点讲述平行与垂直的证明)

?2?可转化成用向量a与平面?的法向量n的夹角?表示，由向量平移得：若

????na?n???an?a??????时????（图1?2）；若??时????（图1?3）. 2222

平面?的法向量n是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到

?平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：

rr(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)

(2)设出平面的一个法向量为n?(x,y,z)

r(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(0?a?2)

(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

1. (线线角,线面角).在棱长为a的正方体ABCD?ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点.

z ''''''A' （1）求直线AC与DE所成角；

'F D'C' B（2）求直线AD与平面BEDF所成的角.

'' A G E y D C

x B