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2009年湖南高考数学试题及答案

数学（理工农医类）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若log2a?0, (1)b?1, 则

2 A．a?1，b?0 C．0?a?1，b?0

B．a?1，b?0

D．0?a?1，b?0 【D】

2．对于非零向量a, b, “a+b=0”是“a∥b”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 【A】

3．将函数y?sinx的图象向左平移?(0≤??2??个单位后，得到函数y?sin(x??)的图象，．．6则?等于 A．?

6B．??

6C．??

6D．??? 【D】

64．如图1，当参数???1, ?2时，连续函数y? C1和C2，则 A．0??1??2

x(x≥0)的图象分别对应曲线 1??xy C2 C1 O B．0??2??1 C．?1??2?0

x 图1 D．?2??1?0 【B】

5．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A．85

B．56 C．49 D．28 【C】

?x?2y≥0,6．已知D是由不等式组?所确定的平面区域，则圆x2?y2?4在区域D内的弧长为

?x??3y≥0? A． B． C．?? D．?? 【B】

42427．正方体ABCD?ABC111D1的棱上到异面直线AB, CC1的距离相等的点的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【C】

8．设函数y?f(x)在(?∞,?∞?内有定义．对于给定的正数K, 定义函数

?f(x),f(x)≤K, fK(x)??K, f(x)?K.? 取函数f(x)?2?x?e?x．若对任意的x?(?∞,?∞)，恒有fK(x)?f(x)，则

A．K的最大值为2 C．K的最大值为1

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线．．．

上．

9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．

10．在(1?x)3?(1?x)3?(1?3x)3的展开式中，x的系数为 7 （用数字作答）． 2 2 ． 11．若x?(0,?)，则2tanx?tan(??x)的最小值为 ??B．K的最小值为2 D．K的最小值为1 【D】

13．一个总体分为A, B两层，其个体数之比为4:1, 用分层抽样方法从总体中抽取一 个容量

为10的样本．已知B层中甲、乙都被抽到的概率为1, 则总体中的个体数为 40 ．

2814．在半径为13的球面上有A, B, C三点，AB?6, BC?8, CA?10, 则

（1）球心到平面ABC的距离为 12 ；

（2）过A, B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 3 ． 15．将正?ABC分割成n2（n≥2, n?N?）个全等的小正三角形（图2, 图3分别给出了n?2,

，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于?ABC的三边及平行于某边的任一3的情形）

直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A, B, C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n), 则有f(2?)101(n?1)(n?2)3 ． f(3)? , … , f(n)? 6, 2

AAAA图2图3BCC

CC三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B16．（本小题满分12分）

在?ABC中，已知 2AB?AC?3|AB|?|AC|?3BC, 求角A, B, C的大小.

解 设BC?a，AC?b，AB?c．

由2AB?AC?3|AB|?|AC|得 2bccosA?3bc，所以cosA?又A?(0,??，因此A??．

6由3|AB|?|AC|?3BC得 bc?3a2．于是 sinC?sinB?3sin2A?223． 2 3． 4所以 sinC?sin(5??C)?3，sinC?(1cosC?3sinC)?3，因此

642242sinC?cosC?23sin2C?3，sin2C?3cos2C?0，即sin(2C??)?0．

3由A??知0?C?5?，所以???2C???4?，从而

633362C???0，或2C????．即C??，或C?2?．故

3336A??，B?2?，C??，或A??，B??，C?2?．

33666617．（本小题满分12分）

为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的1, 1, 1. 现有3名工人独立

236地从中任选一个项目参与建设.

(Ⅰ) 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

(Ⅱ) 记?为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求?的分布列及数学期望.

解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i?1，2，3．由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，

C3相互独立，Ai，Bj，Ck（i，j，k?1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P(Ai)?1，P(Bi)?1，P(Ci)?1．

236（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率