内容发布更新时间 : 2024/11/9 19:48:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．

（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，

∵E（

），OA＝1，

，

∴AG＝1+＝，EG＝

∴，

∵∠AGE＝∠AHP＝90° ∴sin∴

，

，

∵E、F关于x轴对称， ∴PE＝PF，

∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小， ∵EF＝∴∴

．

，∠AEG＝∠HEF，

＝

，

∴PE+PA的最小值是3．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长

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度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．

25．（14分）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．

（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；

（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；

（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．

【分析】（1）由正方形的性质可得∠DAC＝∠CAB＝45°，根据圆周角定理得∠FDE＝∠DFE＝45°，则结论得证；

（2）设OE＝t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF＝可得AG＝

，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段

，证明△AEF∽△ADG

，求出t的值，代

入EG的表达式可求EH的值； （3）由（2）知EG＝求解．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAC＝∠CAB＝45°，

，过点F作FK⊥AC于点K，根据

即可

∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC，∴∠FDE＝∠DFE＝45°，

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∴∠DEF＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形； （2）设OE＝t，连接OD， ∴∠DOE＝∠DAF＝90°， ∵∠OED＝∠DFA， ∴△DOE∽△DAF， ∴∴

t，

，

又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG，∴△AEF∽△ADG， ∴∴

又∵AE＝OA+OE＝2∴

， ，

， +t，

∴EG＝AE﹣AG＝，

当点H恰好落在线段BC上∠DFH＝∠DFE+∠HFE＝45°+45°＝90°， ∴△ADF∽△BFH， ∴

∵AF∥CD， ∴∴∴解得：t1＝

，

， ，

， ，t2＝

（舍去），

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∴EG＝EH＝

（3）过点F作FK⊥AC于点K， 由（2）得EG＝

，

；

∵DE＝EF，∠DEF＝90°， ∴∠DEO＝∠EFK， ∴△DOE≌△EKF（AAS）， ∴FK＝OE＝t， ∴S

＝

．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

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