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第七届全国大学生数学竞赛决赛试题 答案（非数学类） 2016年3月27日

一填空题（5×6分=30分）

1.程微分方

y?(y)?0的通解是_______

'''''3解：令y'?p,则y''?p'，则dp?p3dx，积分得到-1?2p?x?c1，即 2p?y'??1，积分得y?c2?2(c1?x)（c1,2为常数）.

2?c1?x?222.设D:1?x?y?4，则积分I????x?y?e?2D?x2?y2?4?dxdy的值是_______

?222解：I?4e4?20d??rsin?erdr?e21?r2?4?41ue?udu??2(2e3?5)（对称性和极坐标）.

t x??f?s?ds

03.设f?t?二阶连续可导，且f?t??0，若

y?f?t? ， 则

dy?______ dx22解：dx?f?t?dt，dy?f?t?'dyf'?t?，则得 dt，所以?dxf?t?2d2yd?f'?t??dtf?t?f''?t??f'?t????? 23??dxdt?f?t??dxf?t?4.设?1，?2，…，?n是n阶方阵A的特征值，f的行列式的值为_______ 解：

?x?为多项式，则矩阵f?A?f?A??f???f????f??12n?

5.极限lim?nsin(?n!e)?的值为________

n????1??111??1??解：??n!e??n!?1?1?????o???a??o??，an为?n??2!n!?n?1?!??n?1?!??n?1?n?1???1????整数，所以结果?lim?nsin??o()????。

n??n?1???n?1?编者注：填空题考察基础，简易，稳扎稳打，唾手可得！ 二．（本题满分14分）设f?u,v?在全平面上有连续的偏导数，

?x?ay?b?,试证明：曲面f???0的所有切平面都交于点?a,b,c?. z?cz?c???x?ay?b?,证明：记F?x,y,z??f??，求其偏导数得到其法向量： z?cz?c????F,F,F????xyzf1f??x?a?f1??y?b?f2?? --------------------------------6分 ,2,2??z?c??z?cz?c?（得分比高中数学联赛都容易)

为方便取曲面的法向量n???z?c?f1,?z?c?f2,??x?a?f1??y?b?f2?.

记?x,y,z?为曲面上的点，?X,Y,Z?为切面上的点，则曲面上过点?x,y,z?的切平面方程为

??z?c?f1??X?c????z-c?f2??Y?y????x?a?f1??y?b?f2??Z?y??0--------------12分

容易验证，对任意?x,y,z??z?c?，?X,Y,Z???a,b,c?都满足上述切平面方程.结论得证。

编者注：此题入手容易，拿分也容易，主要的就是一个思路，不在于过多的计算，恰到好处的体现了一个很浅显但用数学化的语言描述的一个证明或者定理。 三．（本题满分14分）设f?x?在?a,b?上连续，

?b??b???? ????ftdtdx?fxdx试证明：2?f?x????????a?x??a?b2证明：

由f?x?在?a,b?上连续，知f?x?在?a,b?可积.

令F?x???f?t?dt.则F'?x??-f?x?.------------------------------------------------5分

xb根据要证明试的左边，则

?b??2?f?x???f?t?dt??dxa?x??2?f?x?F?x?dx??2?F?x?F?x?dx??2?F?x?dF?x?'aaabbbb

?b?2b2?????F?x?a?F?a???fx????a?2---------------------------------------------14分 得证.

编辑者注：此题属于送分题，很容易上手，非常基础但不失大气！

四（本题满分14分）设A是m?n矩阵，B是n?p矩阵，C是p?q矩阵，试 证明：R(AB)+R(BC)-RB)≤R(ABC),其中R(X)表示矩阵R的秩.

?ABCO?证：即证明R(AB)+R(BC)≤R(ABC)+R(B)=R?? ---------------3分 ?O B???AB??EmA??ABCO??EqO??O??由于??O E??????CE?=??O B???BCB?? -------------------------7分

p??n??????AB??O?Ep??ABO??O???? --------------------------10分 ??BCB?????E O?=????p??BBC??EmA??EqO??O?Ep????且??O E??，???C E?，?E O?可逆， p?n????p?所以

?ABCO??ABO????R?=R ≥R(AB)+R(BC) --------------------------------14分 ??O??B???BBC??4五（本题满分14分）设In?（1）若n?2,计算In?In?2;

?tan0nxdx，n为正整数.