内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:12:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.1空间向量及其运算

§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算 1．空间向量的概念：

⑴ 在空间，我们把具有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.

⑵ 向量的表示：几何表示法:用有向线段表示；字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.

2．空间向量的加减运算：加法运算：平行四边形法则和三角形法则；减法运算：三角形法则.

3. 共面向量的定义：一般地，平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

4.共面向量的判定；平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是b??a，类比到空间向量，即有

共面向量定理 如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y)，使得p?x??yb.这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a,b线性表示.

5.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 6.若a,b为不共线且同在平面?内，则p与a,b共面的意义是p在?内或p//?.

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.夹角的定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA?a,OB?b，则?AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作?a,b?.规定：0??a,b???.

2.数量积：已知两个非零向量a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos?a,b?叫作向量a,b的数量积，记作a?b，即a?b＝|a||b|cos?a,b?.特别的，a?a?a?acos?a,a??a.

3.空间向量的数量积的运算律：(?a)?b??(a?b)；a?b?b?a（交换律）；

2a?(b?c)?a?b?a?c（分配律）.

4.如果?a,b??0，那么a与b同向；如果?a,b???，那么a与b反向；如果?a,b??900，

那么a与b垂直，记作a?b.

5．空间向量数量积的性质：

（1）a?b?ab?0.（用于判定垂直问题） （2）a?a.（用于求模运算问题） （3）cos?a,b??

§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 §3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组?x,y,z?，使p?xa?yb?zc

2.空间直角坐标系：若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示.

3.空间直角坐标系中的坐标：

给定空间直角坐标系和向量a，设i,j,k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a?a1i?a2j?a3k，有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作a?(a1,a2,a3)．在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组

yjzk?使OA?xi?(x,y,z)，

2a?b．（用于求角运算问题）

|a|?|b|，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐

标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．

4.空间向量的直角坐标运算律

（1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)， 则a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，

?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，

a?b?a1b1?a2b2?a3b3，

a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)， a?b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0，

|a|?a?a?a1?a2?a3， cos?a?b??a1b1?a2b2?a3b3a?b?. 222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b3222B?x(x?y1,yz1z,?)B(x2,y2,z2)，（2）在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，则A22?21．

（3）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则|AB|?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2， 或dA,B?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2．

5.设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC.由空间向量定理可知，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来.

6.将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单.

A C B y A1 M C1 z B1 2