内容发布更新时间 : 2024/6/22 4:40:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

小初高学习+试卷+教案+习题

1.3.2.2 正切函数的图象与性质

示范教案 整体设计

教学分析 本节课的背景是：这之前我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图象与性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．对正切函数，我们也遵循这一原则，先定义正切函数，再利用单位圆找出正切线，然后类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画出正切函数的图象．通过图象来研究它的主要性质．这样处理学生驾轻就熟，易于理解和掌握．

通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象，以提高学生的学习兴趣，提高课堂教学质量．以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．

由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．

学习正切函数的图象与性质，主要注意两点：一是通过正切线画函数的图象，掌握正切函数的性质；二是正切函数的图象的间断点和定义域，从数形两方面理解正切函数图象的特点(变化趋势)，理解语句“趋向无穷大的含义”．

三维目标

1．通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．

2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．

3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．

重点难点

教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用． 教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用． 课时安排 1课时

教学过程 导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．

思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．

推进新课 小初高学习+试卷+教案+习题

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新知探究 提出问题

(1)什么是正切函数？什么是正切线？正切函数的定义域是什么？

(2)我们学习了正弦线、余弦线、正切线．你能画出四个象限的正切线吗？

(3)我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？

(4)我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？

(5)你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？你能类比归纳出正切函数的主要性质吗？

活动：教师引导学生回忆前面对正弦、余弦函数的学习．明确正弦函数的定义．我们前面用正弦线、余弦线画出了正弦函数、余弦函数的图象．那么有没有线段可以表示正切线呢？

如图1，在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点．从图中容易看出：当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方．过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M，那么，不论角α的终边在第几象限，都有∠AOT与∠MOP的正切值相等．我们称线段AT为角α的正切线．

问题(1)，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的．有了这些知识准备，然后根据作出的正切函数图象，类比正弦、余弦函数探究正切函数的性质，指导学生充分利用正切曲线的直观性．

问题(2)，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.

图1

问题(3)，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－

ππ

，]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象22

的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间ππ

(－，)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在

22小初高学习+试卷+教案+习题

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ππ

开区间(－，)内的图象，如图2.

22

π

根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈(－＋kπ，

2ππ＋kπ)(k∈Z)的图象，我们称正切曲线，如图3.可以看出，正切曲线是由通过点(＋kπ，220)(k∈Z)且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．

图2

图3

问题(4)，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能πππ

画出函数y＝tanx，x∈(－，)的简图．学生可看出有三个点很关键：(－，－1)，(0,0)，

224ππ

(，1)，还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(－，－1)，(0,0)，44πππ

(，1)，再画两条平行线x＝－，x＝，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今422后解题很有帮助．

讨论结果：(1)略． (2)正切线是AT. (3)略． (4)能．

(5)“三点两线”法．

下面与学生一起探究正切函数y＝tanx的性质如下： (1)定义域

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