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高等数学（90）（下）期中试卷
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全校理工科
一 二 三 四 五
一、填空题(每小题3分，共27分) 1、u?1?x2?ln1?y1?y的定义域为 [?1,1]?(?1,1)； 考点：自然定义域（注意：根式函数的定义域、对数函数的定义域） 2、平行于向量a=?6,7,?6?的单位向量是?111?6,7,?6?； 考点：单位向量（注意：方向相同与相反的区别）
3、点(1,2,1)到平面x?2y?2z?10?0的距离为1；
考点：点到平面的 距 离公式
4、过点(2,1,1)且垂直于向量i?2j?3k的平面方程为x?2y?3z?7； 考点：平面方程（注意：点法式方程）
5、 函数z?x?y2在点(1,1)处沿梯度方向的方向导数为5；
考点：方向导数（注意：书上的重要结论——函数在某点处沿梯度方向的方向导数即为在该点梯度的模） 6、 交换积分次序：
?2?x211?1?y21dx?2x2?xf(x,y)dy=?0dy?2?yf(x,y)dx；
考点：交换积分次序（注意：将DX型区域转化为DY型区域） 7、I???d??2?d??1?：x2???(x2?y2?z2)dv，则I在球坐标系下的三次积分为?y2?z2?1000?4sin?d?；考点：球面坐标系
8、椭球面x2?2y2?3z2?6在点(1,1,1)处的切平面方程是x?2y?3z?6； 考点：空间曲面的切平面方程（注意：空间曲面在某点处的切向量公式）
9、曲线??y2?z2?2x?0在xoy面上的投影曲线的方程为??z?3?y2?2x?9?0。
?z?0
考点：空间曲线在坐标面上的投影
精品文档 二、计算题（每小题6分，共48分）
2?z22 1、f具有二阶连续的偏导数，z?f(xy,xy)，求。 ?x?y
?z22解：(1) ?f?y?f?2xy?yf1?2xyf2； 12 ?x
2?z ?2yf1?y2f11?2xy?f12?x2?2xf2?2xyf21?2xy?f22?x2 (2)
?x?y
?2yf1?2xf2?2xy3f11?5x2y2f12?2x3yf22。
考点：多元抽象函数的高阶导数 （注意：符号的涵义）
yzyu?ln(xyz)的一阶偏导数。 2、求函数
解：原函数变形为u?ylnx?zlny?ylnz，则
zyy ux?， uy?lnx??lnz， uz?lny?。 yxz
考点：多元函数的一阶导数（注意：先应用自然对数的性质变形）
?y?1?0 3、从点(0,?1,1)作直线?的垂线，求垂线的方程。 ?x?2z?7?0
?解：(1)由条件可得，已知直线的方向向量s?(0,1,0)?(1,0,2)?(2,0,?1)，
(2)过点(0,?1,1)垂直于已知直线的平面方程为2(x?0)?0(y?1)?1(z?1)?0，即2x?z?1?0，
x?1y?1z?3 (3)取已知直线过定点，则该直线的对称式方程为， (1,?1,3)?? 20?1
?x?1?2?, ?从而其参数式方程为?y??1,
?z?3??. ?
(4)将直线的参数式方程代入平面方程得：2(1?2?)?(3??)?1?0，解得??0，
从而已知直线与垂面的交点为(1,?1,3)，
?y?1z?1s?(1,0,2) (5)所求的垂线的方向向量，因此所求的垂线方程为。 x?? 02 考点：过已知点求某直线的垂线（注意：先求过已知点求某直线的垂面方程，然后求垂足，最后利用点向式方程求垂线方程）
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4、在曲线?:x?t,y?t2,z?t3上求出一点，使过该点的切线平行于平面
?:x?2y?z?4。
解：(1)取已知曲线?上的点P对应于t0满足题意，则在该点上曲线?的切向量为
T??(1,2t20,3t0),
(2)已知平面的法向量为n??(1,2,1),则由题意得T??n?，从而T??n??0，
即(1,2t21)?1?4t20,3t0)?(1,2,0?3t0?0，解得t0??1或?13， 故所求的点为(?1,1,?1)和????111?3,9,?27??。 考点：空间曲线在已知点的切线（注意：空间曲线在已知点的切向量公式）
5、过点(3,1,?2)且通过直线
x?4y?35?2?z1的平面方程。 解：(1)由条件得已知直线过定点(4,?3,0)，其方向向量为?s?(5,2,1)，
(2) 点(3,1,?2)和点(4,?3,0)确定的向量为a??(1,?4,2)，
则所求平面的法向量为n??s??a??(5,2,1)?(1,?4,2)?(8,?9,?22)，
从而所求的平面方程为8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0，即8x?9y?22z?59。 考点：经过已知点和已知直线的平面（注意：用向量积求所求平面的法向量）
6、已知??z?x2?y2x?2y?3z?20，求dy,dz2。 ?22dxdx?dz?2x?2dy解：对原方程组两边分别关于x求导得???dxydx,???2x?4ydydz
dx?6zdx?0, 解之即得
dydx??x?6xzdzx2y?6yz，dx?1?3z。 考点：一元隐函数组的求导（注意：自变量与函数值的区分）