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中国矿业大学试卷 大二上学期 （理学院2007级用，考试时间：2008年12月15日 星期一）

答题时间：100分钟 考试方式： 闭卷

班级____________姓名____________序号___________成绩____________

题号 得分 一 （10分）利用二元函数的泰勒公式证明:

?1????x?(1??)y。 ?x?0,y?0和0???1有, xy一 二 三 四 五 六 七 八 总分

?u?f(ux,v?y)?v?g(u?x,vy)2二 （10分）已知：?

，求

?u?x和

?v?x。

1

三 （10分）计算??Dsinxxdxdy，D是y?x,y?0,x??所围闭区域。

四 （10分）求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2所截出的曲线在点(3,4,5)处的法平面

方程。

2

五 （15分） 设S为曲面 z?2?x2?y2,1?z?2 取上侧，计算

I???S(xz?x)dydz?xyzdzdx?xzdxdy3222

六 （15分）计算I??xdy?ydxx?y22L，其中L分别是：（i）L是圆周：x2?y2??2，逆时针；

（ii）L是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii）L是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。

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222?xyz七 （15分）在力场F?(yz,zx,xy)作用下，质点从原点沿直线移到2?2?2?1上第一

abc?卦限点M(?,?,?)，?,?,?为何值时力F作的功W最大，并求最大功。

八 （15分）设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程

(x?y)h(t)22z?h(t)?，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积

成正比(比例系数0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时?

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数学分析(3)试题（A）解答

（理学院2007级用，考试时间：2008年12月15日 星期一）

一 （10分）利用二元函数的泰勒公式证明:

?1????x?(1??)y. ?x?0,y?0和0???1有, xy证明：设f(x,y)?x?y1??(x?0,y?0)，则

f(1,1)?1，fx(1,1)??，fy(1,1)?1??，fxx(x,y)??(??1)x??2y1??， 。

fxy(x,y)?fyx(x,y)??(1??)x??1y??，fyy(x,y)?(1??)(??)xy????1将f(x,y)在点(1,1展)开为一阶泰勒公式。那么对任意的x?0,y?0，必存在

??(0x,?),?xy?1??(y0，有,

?f(x,y)?f(1,1)?fx(1,1)(x?1)?fy(1,1)(y?1)

?fxx(?,?)?(x?1,y?1)?2?fyx(?,?)1?1??(x?1)?(1??)(y?1)

fxy(?,?)??x?1???? fyy(?,?)??y?1???(??1)???2?1???(x?1,y?1)???1??2??(1??)??1??x?1?? ????1??y?1(1??)(??)??????(1??)???1??? ??x?(1??)y?1?x?1?(x?1,y?1A)?(?,?)?， 2?y?1?容易验证矩阵A(?,?)恒为半负定的，故上式的最后一项恒小于等于零，因此结论成立。 注：余项不利用二次型，直接配方也可。

?u?f(ux,v?y)?u?v二 （10分）已知：?，求和。 2v?g(u?x,vy)?x?x?解：把u和v都看作为x和y的二元函数，方程组两边对x求偏导数，得

?u?v??u???f?(x?u)?f?(?0)12???x?x?x， ??v?u?v???(2vy?g1??(?1)?g2)??x?x??x整理得

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