内容发布更新时间 : 2024/5/10 10:45:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?u?v???(1?xf)?f?f1??u12???x?x， ??g??u?(2vyg??1)?v?g?121??x?x?因而

uf1??u?x?g1?1?xf1?g1??f2???12vyg2?f2???12vyg2???1)?uf1??f2??g1?(2vyg2??1)(1?xf1?)?f2??g1?(2vyg2，

1?xf1?uf1??v?x?g1?1?xf1?g1?g1??f2???12vyg2?(xf1??1)?g1??uf1?g1???1)(1?xf1?)?f2??g1?(2vyg2。

三 （10分）计算??Dsinxxdxdy，D是y?x,y?0,x??所围闭区域。

解：画出积分区域，考虑先对y积分得：

I???0sinxxdx?dy?0x??0sinxdx??cosx?0?2。

四 （10分）求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2所截出的曲线在点(3,4,5)处的法平面

方程。

解：设F(x,y,z)?x2?y2?z2?50，G(x,y,z)?x2?y2?z2，则曲线在(3,4,5)处法平面的法向量为：

?iFxGx?jFyGy?kFzGz(3,4,5)?i?66?j88??10??160i?120j， ?10?k 因而要求的法平面方程为：?160(x?3)?120(y?4)?0 或 4x?3y?0。

五 （15分） 设S为曲面 z?2?x?y,1?z?2 取上侧，计算

I?22??S(xz?x)dydz?xyzdzdx?xzdxdy

223222解：补辅助面S1:z?1,(x,y)?Dxy:x?y?1,取下侧

I?

???S?S1???S1

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gauss公式???V[3xz?1?xz?2xz]dxdydz?222??S1?xzdxdy22

?I1?I2

。

I1????Vdxdydz??021dz??Dzdxdy?2?r2?21?(2?z)dz?1212?

[或用柱坐标:I1?I2???2?d??10rdr?21dz??]，

122???2?0S1?xdxdy?2132??Dxyxdxdy?14?2?0d??0rcos??rdr

cos?d??0rdr??

，

I?I1?I2?14?。

xdy?ydxx?y22六 （15分）计算I??L，其中L分别是：（i）L是圆周：x2?y2??2，逆时针；

（ii）L是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii）L是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。

解：(1) 由Green公式有: I??xdy?ydxLx?y22?1?2?Lxdy?ydx?1?2??D2dxdy?1?2?2??2?2?

(2) 令P??yx?y22,Q?xx?y22,则

?Q?xy?x2222?(x?y)2??P?y,

且P，Q，

?P?y,

?Q?x在L及D上连续,故由Green公式有:

xdy?ydxx?y22I??L???D(?Q?x2??P?y2)dxdy?0。

2(3) 以原点为圆心,作以?为半径作正向圆周C?:x?y??,其中?小于原点到集合L的距离,记L与C?所围区域为D,则由Green公式有:

?

xdy?ydxx?y22L??xdy?ydx?C?x?y22???D(?Q?x??P?y)dxdy?0，

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由此并利用(1)的结果有:

?xdy?ydxx?y22L???xdy?ydx?C?x?y22??xdy?ydxx?y22C??2?。

222?xyz七 （15分）在力场F?(yz,zx,xy)作用下，质点从原点沿直线移到2?2?2?1上第一

abc?卦限点M(?,?,?)，?,?,?为何值时力F作的功W最大，并求最大功。

解：直线段OM的参数方程:

x??t,y??t,z??t,t:0?1，

W??OMyzdx?zxdy?xydz??103???tdt????2。

把?,?,?换成x,y,z，即求条件极值

?W?xyz?max?222yz?x?2?2?1(x,y,z?0)2?bc?a

作Lagrange函数：L(x,y,z,?)?xyz??(??Lx??Ly???Lz???L??2?a2?b2?c222xa22?yb22?zc22?1) ，

?yz??xz??xy??xa22x?0y?0z?02(1)(2)(3)?1?0(4)?yb2?zc22 xa22上面(1),(2),(3)分别乘x,y,z相加得

a3b3?ybc322?zc22??3xyz2?,代入(4)得xyz??abc3323?,

再代入(1)得 x?,类似可得y?,z?，而最大功W?。

八 （15分）设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程

(x?y)h(t)22z?h(t)?，设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积

成正比(比例系数0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要多少小时?

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解：记雪堆体积为V, 侧面积为S ,则

V?

?h(t)0dz??Dzdxdy??h(t)02?[h(t)?h(t)z]dz??2h(t)，

3S?

??D01?(z?)?(z?)xyh(t)02222dxdy???6D01?4(x?y)h(t)222dxdy (用极坐标)

??h(t)2?h(t)?4rrdr?(55?1)?h(t)。

2由题意知，

dVdt??0.9S，故

?dh55?1??,?， 10?dt??h(0)?130因而，h(t)??55?110t?130，令h(t)?0,得

t?130055?1?127.7(小时)。

因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间约为127.7小时.

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