内容发布更新时间 : 2024/11/5 12:58:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半

均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强． ds R [解答]在带正电的圆弧上取一弧元

θ O Ex x ds = Rdθ，电荷元为dq = λds， 在O点产生的场强大小为 E Ey 1dq1?ds? y ， dE???d?226.4半径为

4??0R4??0R4??0R场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ． 对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为

E?2Ey??dEsin?

L??2??0R?/6?0sin?d???(?cos?)2??0R?/6

0Ex θ O E Ey ds R y x ?(1?

3?． )22??0R6.8（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场

中穿过立方体一面的电通量是多少？

（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？

[解答]点电荷产生的电通量为Φe = q/ε0． （1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．

（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；

立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．

6.10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R和R(R > R)，带有等量异号

1

2

1

2

电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．

[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E = 0，（r < R1）．

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl，穿过高斯面的电通量为

?e???E?dS??EdS?E2?rl，

SS根据高斯定理Φe = q/ε0，所以

E??， (R1 < r < R2)． 2??0r（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E = 0，（r > R2）． 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去

一块半径为R`

6.11

R O R` a O` 图12.10

[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加．

对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

E4?r2?143?r? ?03P点场强大小为 E??r． 3?014?R3? ?03当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 E4?r2??R3P点场强大小为 E?． 23?0rO点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为

?R`3，方向由O指向O`． EO?3?0a2O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为

θ Er EO`??a，方向也由O指向O`． 3?0r P E r` Er` O a O` [证明]在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为

Er???r， Er`?r`，方向如图所示． 3?03?0设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为 E2?Er2?Er`2?2ErEr`cos??(根据余弦定理得

2 a2?r2?`r?2r`rco?s?(?， )所以 E??222)r(?r`?2rr`c?o，s )3?0?a， 3?0可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O到O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．

6.16电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：

（1）带电直线延长线上离中点为r处的电势； （2）带电直线中垂在线离中点为r处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L．

（1）建立坐标系，在细在线取一线元dl，所带的电量为dq = λdl， 根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为

dU1?1?dlL4??0r?l

L?总电势为 U1?4??0dl???ln(r?l)?r?l4??0?L?l??Lq8??0Llnr?L． r?L（2）建立坐标系，在细在线取一线元dl，所带的电量为dq = λdl， 在线的垂直平分在线的P2点产生的电势为

dU2?积分得

?dl， 221/24??0(r?l)?U2?4??0?q?122?ln(r?l?l)dl221/2?4??0(r?l)?LLL

l??Ly P2 -L 8??0Llnr2?L2?Lr2?L2?L?q4??0Llnr2?L2?L．

r r o θ lxx dl L x （3）P1点的场强大小为

q11q1?U， ① (?)?E1??1?228??0Lr?Lr?L4??0r?L?r方向沿着x轴正向．

P2点的场强为

E2???q4??0r2?U2?r2?1r[?]22224??0Lrr?L(r?L?L)q1r?L， ②

方向沿着y轴正向．

一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半

径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）

[解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为 E?6.17

q4??0r2．

当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rc，所以A球的电势为 U?q4??0rc．

6.19金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心

为r处有一点电荷q，求球心o的电势为多少？

[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势迭加，大小为

b o r a q q1?q1Q?q Uo???4??0r4??0a4??0bd1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求

（1）B、C板上的电荷为多少？ （2）A板电势为多少？

[解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为ζ1和ζ2，所带电量分别为

16.20三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm，A、B相距

2

图13.3

B A q C 图13.4

q1 = ζ1S和q2 = ζ2S，

在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程

q = q1 + q2 = ζ1S + ζ2S． ① A、B间的场强为 E1 = ζ1/ε0，

A、C间的场强为 E2 = ζ2/ε0．

设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则

ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 ζ1d1 = ζ2d2． ③

解联立方程①和③得 ζ1 = qd2/S(d1 + d2)， 所以 q1 = ζ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)．

(2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = ζ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，所以 ε0 = 10-9/36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)．

由于B板和C板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)．

12．4 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．

[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强． R 在圆弧上取一弧元 ds =R dφ，

O θ 所带的电量为

dq = λds，

在圆心处产生的场强的大小为 图12.4

dE?kdq?ds???d?， r24??0R24??0R由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为 dEx = -dEcosφ． 总场强为

Ex???4??0R?2???/2??cos?d????4??0R2???/2sin??/2

R φ O θ x dφ /2??sin，方向沿着x轴正向．

2??0R2dE E`` R O θ E` x 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．

根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为

?， E`?4??0R由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为

`Ex?2E`cos ?2???cos，方向沿着x轴负向．

2??0R2`当O点合场强为零时，必有Ex?Ex，可得 tanθ/2 = 1，

因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．

12．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B．A平面的电荷面密度为2ζ，B平面的电荷面密度为ζ，两面间的距离为d．当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？

[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 EA = 2ζ/2ε0 = ζ/ε0，EB = ζ/2ε0，

两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA -

EB = ζ/2ε0，

方向由A平面指向B平面．

两平面间的电势差为 U = Ed = ζd/2ε0，

当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qζd/2ε0．

12．13 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？

[解答]带电球面在外部产生的场强为 E????Q4??0r2，

??Q由于 UR?U???E?dl??Edr??dr?24??r4??0r0RRR当UR = 0时，U???Q?RQ4??0R，

Q4??0R．

12．14 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（r

Q(3R2?r2)． U?8??0R3[证明]球的体积为V?4Q3Q． ?R3，电荷的体密度为 ???33V4?R利用12．10题的方法可求球内外的电场强度大小为

?QE?r?r，（r≦R）； 33?04??0RE?Q4??0r?2，（r≧R）．

取无穷远处的电势为零，则r处的电势为

R?U??E?dl??Edr??EdrrrRR??rQ4??0R3?rdr??Q4??0r2Rdr?Q8??0R3Rr2r?Q?4??0r22?

RQ(3R2?r2)． ??(R?r)?338??0R8??0R4??0RQQ14．4 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求

圆心O处的磁感应强度B = ？

[解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨

r0， 定律：dB??0Idl?4?r2圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为

A C b O a 图14.4 D I ?IdldB1?02， 由于 dl = adφ，

4?a3?/2?0Id?3?0I积分得 B1??dB1??． ?L4?a8a0OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的

磁场为