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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的
引入综合检测 新人教A版选修2-2
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2014·浙江理，2)已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 [答案] A
[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2
＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，选A.
－
2－z－
2．(2015·衡阳二模)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则等于z( )
A．－1－2i C．－1＋2i [答案] C
－
2－z2－－1＋
[解析] 由题意可得＝
z－1－i
＝
－
－1－
－1＋－1＋
＝－1＋2i，故选C.
B．－2＋i D．1＋2i
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
m－2i
3．复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
1＋2iA．第一象限 C．第三象限 [答案] A [解析] z＝
m－2i
＝1＋2i
m－＋
－－
11
＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其实部为(m－4)，虚55B．第二象限 D．第四象限
2
部为－(m＋1)，
5
??m－4>0，由??－m＋?
??m>4，
得?此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第?m<－1.?
一象限．
13
4．(2014·东北三省三校联考)已知复数z＝－＋i，则z＋|z|＝( )
22
13A．－－i
2213C.＋i 22[答案] D
13B．－＋i
2213D．－i
22
1313
[解析] 因为z＝－＋i，所以z＋|z|＝－－i＋22221
－2
2
＋
32
2
13＝－i. 22
3π5π?5．若θ∈??4，4?，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( ) A．第一象限 C．第三象限 [答案] B
3π5π?[解析] θ∈??4，4?时， sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故对应点(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)在第二象限．
3π5π?[点评] 由于θ∈??4，4?时，据选项知，此复数对应点只能在某一象限，∴取θ＝π检验知，对应点在第二象限．
－6．(2015·石家庄市二模)已知复数z满足(1－i)z＝i2015(其中i为虚数单位)，则z的虚部为( )
1A. 21C.i 2[答案] B
[解析] ∵2015＝4×503＋3， ∴i2015＝i3＝－i. －i11∴z＝＝－i.
1－i221
∴z的虚部为－.故选B.
2
－z－－－
7．设z的共轭复数为z，若z＋z＝4，z·z＝8，则等于( )
zA．i C．±1 [答案] D
B．－i D．±i 1
B．－ 21D．－i 2B．第二象限 D．第四象限
???2a＝4，?a＝2，－?[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由条件可得22解得? ?a＋b＝8.?b＝±2.??
?z＝2＋2i，?z＝2－2i，
因此?－或?－
?z＝2－2i，?z＝2＋2i.
－
z2－2i1－i所以＝＝＝
z2＋2i1＋i－
z2＋2i1＋i或＝＝＝z2－2i1－i－z
所以＝±i.
z
8．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m等于( ) 1A. 121C．－
12[答案] A
[解析] 设方程的实数根为x＝a(a为实数)， 则a2＋(1＋2i)·a＋3m＋i＝0，
??a＋a＋3m＝0，∴???2a＋1＝0，
2
－＋＋－
2
2
－
－2i
＝＝－i，
22i
＝＝i， 2
1＋
1B．i
121D．－i 12
?a＝－2，∴?1
m＝?12.1
故选A.
y
9．已知复数z＝(x－2)＋yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则的最大值是
x( )
A.3 2
B．
3 3
1C. 2[答案] D
D．3
[解析] 因为|(x－2)＋yi|＝3，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在y
以C(2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤
x≤3.
a＋i
10．(2014·河北衡水中学模拟)设a∈R，i是虚数单位，则“a＝1”是“为纯虚数”的( )
a－iA．充分不必要条件
B．必要不充分条件