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第七章 参数估计

复习题（p.259）

1、 对某种布进行强力试验，共试验25块布，试验结果如下（单位：千克）

20 24 20 23 21 19 22 23 20 22 20 22 23 25 21 21 22 24 23 22 23 21 22 21 23

以?表示强力，试用矩法估计E???，D???。 解：强力试验的结果的频数

试验结果 19 20 21 22 23 24 25 频 数 1 4 5 6 6 2 1 ?????125?25?i?21.88 ??2?1i?125?25??i???2?2.1056 i?12、 设总体?的密度函数

??2 fx????0?x??

??2?0其它??0未知，?1,?,?n为其样本，试求?的矩法估计量。

?解：E???xf?x??dx??2?2??x?x2?2??1??dx??00?2??2x2?3x3???

03 ??3E? ???3? 3、 设电话总机在某段时间内接到的呼叫数?服从泊松分布，现收集了42个数据呼叫次数 0 1 2 3 4 5 频 数 7 10 12 8 3 2 用极大似然估计法估计该分布的未知参数。

解：由习题7.1第5题

?????142?0?7?1?10?2?12?3?8?4?3?5?2??1.90476 4、 总体?的密度函数

f?x?????c?x???1x?cx?c （c?0为已知数） ?0??1未知参数，?1,?,?n为其样本，求?的矩法估计量和极大似然估计量。 1

1????x???1解：① 矩估计：E???xf?x?dx???cxdx??c????1cc???????c?c ??1?? ????c

② 极大似然估计：L???????1????1nn? ???cx??cxx?x?i12ni?1n lnL????nln??n?lnc????1?ln?x1x2?xn?

?dlnL???n??nlnc?ln?x1x2?xn??0

d????n?lnxi?1n?? ?ni?nlnc?ln?i?1n

i?nlnc5、 总体?的密度函数为

??1?x???f?x????e?0?x?? （式中???????为未知参数）

??0x?? ?1,?,?n为其样本，求?,?的极大似然估计量。 解：L??,?????ei?1n1?xi????1?ne?1?n??xi?n??????i?1??

n1?lnL??,????nln???n???xi??

i?1????lnL??,??n?????1? ??0 无解，则取?????nn?lnL??,??n1??????? ???2?n???xi??0 ???xi?? ??1?i?1i?1??????6、 设总体?~N??1,1?，?1,?,?n为其样本，又设总体?~N??2,2?， ?1,?,?n为其样本，

?。 又设这两样本独立，求???1??2的无偏估计?1n????? 解：E??E?1?E?2????i??i? ?ni?1 2

????????D??????E????????D???? 证明：E????0 ?E???不是????? ?? ?D????222??T??,?,??的期望为?，且D???0，求证??2不是?的无偏估计。 7、 设?1n22222的无偏估计

8、 设分别自总体N??,??和N??,??中抽取容量为m和n的两独立样本，其样本方差

2212222为S12和S2。试证：对任意常数a,b?a?b?1?，z?aS12?bS2是?的无偏估计，并

确定常数a,b使D?z?达到最小。

2解：?Ez?aES12?bES2?a?2?b?2??a?b??2??2

22是?的无偏估计 ?z?aS12?bS24?a22?4b2?22?4Dz?aDS?bDS?a??b??????2?

m?1n?1?m?1n?1?22122222a2?a?1???a2a?1???0 令F?a??， F??a???m?1n?1m?1n?12?a?m?1n?1,b?

m?n?1m?n?1 3