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2012考研数学易混淆概念分析之高等数学（三）

万学海文

考研数学当中的高等数学有很多容易混淆的概念知识点，万学海文数学考研辅导专家们根据多年的辅导经验，在此将为2012年的广大考生们罗列出这些容易混淆知识点以供大家参考复习。

下面，我们讲解的是利用洛必达法则求极限的相关问题。

1、导函数之比的极限值不存在时，不能使用洛必达法则． 例1、求极限lim??2x?cosx3x?sinx2?sinx3?cosxx??

，由于该极限不存在，所以原极限lim2x?cosx3x?sinx解：原式?()?lim存在．

不

x??x??此题显然不对，我们可以得到该题目的极限为

23．为什么会这样呢？难道洛

必达法则出问题了？显然不是，洛必达法则只能说出导数之比的极限值存在或无穷大时，原极限的情况，而极限不存在时，原函数的极限可能存在也可能不存在．

2、求数列极限时不能直接利用洛必达法则．

1例2、求极限limn(en?1)

n?? 解：利用洛必达法则求解

11

limne(n?n???1)e?1lim?n??1nn?n??en1lnim?limen?1n???2n2111 ．

此题的结果是正确的，但是计算过程是错误的．因为数列中变量n是自然数，

它是一系列离散的点，不是连续变量，所以没有导数，不能直接利用洛必达法则求极限．但对于特殊的数列极限和

正确的求解方法是，先求出的数列极限．

11x???0?0?limf(x)的极限，根据函数极限的性质可得相应

型，可以间接的使用洛必达法则求极限．

正确的解法：因为，x???limx(ex?1)?lim(e?1)1xx??limx???1x?21exx???1x???1x2?limex?1

1所以，数列limn(en?1)=1

n??例3、求数列极限lim(1?n??1n?1x1n?2)n

x解：先求函数极限lim(1?x???1x2)取对数后的极限为：

2x?1x???limxln(1?1x?1x1n2)?limln(1?x?x)?lnx1x1x1x222x????lim1?x?xx???1?2x2?2x?limx?2xx?x?122x????1,所以，lim(1?n???1n2)n?lim(1?x????)x?e.

3、求解含有抽象函数的极限，使用洛必达法则时一定要注意题设条件． 例4、设f(x)在点x处具有二阶导数，求极限

limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)h2．

h?0错误解答：

(1) 用洛必达法则 limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)h2h?0?limf'(x?h)?2f'(x)?f'(x?h)2hh?0

?1f'x(?h?)flim[2h?0hx'(?)f?x?'(f)x?h'(h?]2)1f[x'?'(f)x?''()]0

（2）利用洛必达法则

limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)h22

h?0?limf'(x?h)?f'(x?h)2hh?0?limf''(x?h)?f''(x?h)

h?0?f''(x)上述两种做法都是错误的．（1）式的错误在于，利用洛必达法则求极限时，自变量是h，故分子分母均应是分别对变量h求导数，这时，?2f(x)的导数是0，而（1）式中却想当然的把导数错误的求为?2f'(x)，所以结果是错的．

（2）式的错误在于，第二次使用洛必达法则时，没有考虑题设条件：f(x)在点x处具有二阶导数．只是可导，我们并不知道在x的一个邻域内是否二阶可导，所以不满足洛必达法则的条件．同样第三步计算也是错误的，因为题设并没有告诉我们二阶导数在x处连续，故limf''(x?h)?f''(x?h)2h?0?f''(x)?f''(x)2是没有根

据的．所以，万学海文提醒考生们一定要小心使用洛必达法则求极限．

正确解答：lim?12f(x?h)?2f(x)?f(x?h)hf'(x?h)?f'(x)2h?0?limf'(x?h)?f'(x?h)2hh?0

[limh?0h?limf'(x?h)?f'(x)?hh?0]?f''(x)

先是利用洛必达法则，再利用导数定义求解．

当然也有其它的方法求解：

f(x?h)?f(x)?f?(x)h?f(x?h)?f(x)?f?(x)h?f??(x)2!f??(x)2!h?o(h),

22h?o(h)．所以

22 limf(x?h)?2f(x)?f(x?h)h2h?0?lim22f??(x)h?o(h)h?0h2?f??(x)

例5、设

?g?x?,??x?0?，且已知g(0)?g?(0)?0，g??(0)?3，试求f?(0).f?x???x????0,??????x?0?f(x)?f(0)x?0f?(0)?limx?0

解 因为 问题两则：

?g(x)2xg(x)x2,所以由洛必达法则得

g?(x)2x1

?limx?0?(0)g?(x)?g13?lim?g??(0?) .2x?0x?022(1)上例解法中，已知条件g(0)?0用在何处? (2)如果用两次洛必达法则，得到

f?(0)???limg?(x)2xx?0?limg??(x)2x?0?12g??(0)?32.错在何处?

小结 万学海文在此为2012年考生们列出用洛必达法则应注意的事项:

①运用洛必达法则时,一定要注意条件.当x??时,极限中含有sinx,cosx； 或当x?0时,极限式中含有sin1x,cos1x时,不能用法则.

②只要满足洛必达法则的条件,洛必达法则可一直用下去； ③每用完一次法则，要将式子整理化简；

④为简化运算经常将法则与等价无穷小结合使用；

⑤用变量代换使求导运算简单，从而使洛必达法则更有效.