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2011年重庆市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析 一、选择题(共10小题,每小题3分,满分30分) 1.(3分)(2011?重庆)复数=( ) A. B. C. D. 【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】利用i的幂的运算法则,化简分子,然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为a+bi(a,b∈R)的形式,即可. 【解答】解:复数==== 故选C
【点评】题考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,是基础
题. 22.(3分)(2011?重庆)“x<﹣1”是“x﹣1>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】计算题. 222【分析】由x<﹣1,知x﹣1>0,由x﹣1>0知x<﹣1或x>1.由此知“x<﹣1”是“x﹣1>0”的充分而不必要条件. 2【解答】解:∵“x<﹣1”?“x﹣1>0”, 2“x﹣1>0”?“x<﹣1或x>1”. 2∴“x<﹣1”是“x﹣1>0”的充分而不必要条件. 故选A. 【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用. 3.(3分)(2011?重庆)已知,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.6 【考点】极限及其运算. 【专题】计算题. 2【分析】先将极限式通分化简,得到,分子分母同时除以x,再取极限即可. 1
【解答】解:原式= 2=(分子分母同时除以
x) = ==2 ∴a=6
故选:D. 【点评】关于高中极限式的运算,一般要先化简再代值取极限,本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子,是极限运算中常用的计算技巧. n564.(3分)(2011?
重庆)(1+3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x与x的系数相等,则n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【考点】二项式系数的性质. 【专题】计算题. 56【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,求出展开式中x与x的系数,列出方程求出n. rrr【解答】解:二项式展开式的通项为T=3Cx
r+1n565566∴
展开式中x与x的系数分别是3C,3C
nn5566∴3C=3C nn解得n=7 故选B 【点评】本题考查利用二项展
开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 5.(3分)(2011?重庆)下列区间中,函数f(x)=|lg(2﹣x)|在其上为增函数的是( ) A.(﹣∞,1] B. C. D.(1,2) 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】根据零点分段法,我们易将函数f(x)=|lg(2﹣x)|的解析式化为分段函数的形式,再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论. 【解答】解:∵f(x)=|lg(2﹣x)|, ∴f(x)= 根据复合函数的单调性我们易得 在区间(﹣∞,1]上单调递减 在区间(1,2)上单调递增 2
故选D 【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键. 226.(3分)(2011?重庆)△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)﹣c=4,且C=60°,则ab的值为( ) A. B. C.1 D. 【考点】余弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 222222【分析】将(a+b)﹣c=4化为c=
(a+b)﹣4=a+b+2ab﹣4,又C=60°,再利用余弦定22222理得c=a+b﹣2abcosC=a+b﹣ab即可求得答案. 22【解答】解:∵△ABC的边a、b、c满足(a+b)﹣c=4, 2222∴c=(a+b)﹣4=a+b+2ab﹣4, 22222又C=60°,由余弦定理得c=a+b﹣2abcosC=a+b﹣ab, ∴2ab﹣4=﹣ab, ∴ab=. 故选:A. 【点评】本题考查余弦定理,考查代换与运算的能力,属于基本知识的考查. 7.(3分)(2011?重庆)已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是( ) A. B.4 C. D.5 【考点】基本不等式. 【专题】计算题. 【分析】利用题设中的等式,把y的表达式转化成()()展开后,利用基本不等式求得y的最小值. 【解答】解:∵a+b=2, ∴=1 ∴=()()=++≥+2=(当且仅当b=2a时等号成立) 故选C 【点评】本题主要考查了基本不等式求最值.注意把握好一定,二正,三相等的原则. 228.(3分)(2011?重庆)在圆x+y﹣2x﹣6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( ) A. B. C. D. 【考点】圆的标准方程;两点间的距离公式. 【专题】数形结合;直线与圆. 3
【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标与圆的半径,根据图形可知,过点E最长的弦为直径AC,最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD,根据两点间的距离公式求出ME的长度,根据垂径定理得到E为BD的中点,在直角三角形BME中,根据勾股定理求出BE,则BD=2BE,然后利用AC与BD的乘积