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《数值分析》课程实验报告

用二分法和牛顿迭代法求方程的根

算法名称 用二分法和牛顿迭代法求方程的根

学科专业 机械工程

作者姓名 xxxxxx

作者学号 xxxxxx

作者班级 xxxxxxxx

xx大学

二〇一五年十二月

《数值分析》课程实验报告

《数值分析》课程实验报告

实验名称 用二分法和牛顿迭代法求方程的根 成绩 一、问题背景 在科学研究与工程计算中，常遇到方程（组）求根问题。若干个世纪以来，工程师和数学家花了大量时用于探索求解方程（组），研究各种各样的方程求解方法。对于方程f(x)=0，当f(x)为线性函数时，称f(x)=0为线性方程；当f(x）为非线性函数时，称式f(x)=0为非线性方程。对于线性方程（组）的求解，理论与数值求法的成果丰富；对于非线性方程的求解，由于f(x）的多样性，尚无一般的解析解法。当f(x)为非线性函数时，若f(x)=0无解析解，但如果对任意的精度要求，设计迭代方程，数值计算出方程的近似解，则可以认为求根的计算问题已经解决，至少能够满足实际要求。 二、数学模型 1.使用二分法求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根（误差<10^-5）。 2.使用牛顿迭代求方程x^3+x-1=0在[0,1]内的近似根，设置迭代格式为 x?x?1xn?1?xn?n2n3xn?1 三、算法描述 1、二分法：二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将汗根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列{xk}来逼近根x。 2、牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种逐次逼近的方法，其步骤是首先给定一个粗糙的初始值，然后用一个迭代公式反复修正这个值，知道满足要求为止。 四、主要代码 （1）二分法程序代码： function y=erfen1(m,n,er) syms x xk a=m;b=n;k=0; ff=x^3+x-1; while b-a>er xk=(a+b)/2; fx=subs(ff,x,xk); fa=subs(ff,x,a); k=k+1; if fx==0 y(k)=xk; break; elseif fa*fx<0 b=xk; else 3

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a=xk; end y(k)=xk; end plot(y,'.-'); grid on （2）牛顿迭代法程序： function x=newton(xx,n) x=zeros(1,n+1); x(1)=xx; for i=1:n x(i+1)=x(i)-(x(i)^3+x(i)-1)/(3*x(i)^2+1); end 五、实验结果及分析 （1）二分法： 在命令窗口下执行： ??ab?erfen1(0,1,1e?5);??vpa(ab,8)实验结果如下： 可以得到迭代区间中点数列分布及图像，数值如下： ans = [ 0.5, 0.75, 0.625, 0.6875, 0.65625, 0.671875, 0.6796875, 0.68359375, 0.68164062, 0.68261719, 0.68212891, 0.68237305, 0.68225098, 0.68231201, 0.68234253, 0.68232727, 0.6823349] 依据题目要求的精度，则需做十七次，由实验数据知x=0.6823349即为所求的根。