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第1课时 等差数列的概念及其通项公式

学 习 目 标 1.理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 核 心 素 养 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养． 2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.

1．等差数列的概念

阅读教材P10～P11例1以上部分，完成下列问题．

文字 语言 符号 语言 从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示 若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列 思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？ [提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列． (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？

[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．

如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列． 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？ [提示] 可以，可利用a2－a1＝d求出d，即可求出通项公式． (2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？

[提示] 不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数．

3．等差数列通项公式的推导

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，根据等差数列的定义得到a2－a1＝d，a3－a2＝d，

a4－a3＝d，…

所以a2＝a1＋d，

a3＝a2＋d＝a1＋d＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝a1＋2d＋d＝a1＋3d，

……

由此归纳出等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

1．等差数列{an}中a1＝2，公差d＝3，则an＝( ) A．2n＋1 C．2n－1

B．3n＋1 D．3n－1

D [an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.]

2．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则公差d＝( ) A．4 C．－4

B [a3－a1＝4－0＝2d，故d＝2.]

315

3．等差数列，－，－，…的第10项为( )

22237

A．－

237C．

2

313

B [由a1＝，d＝－－＝－2，得

222

33

B．－ 233D．

2B．2 D．－2

an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋.

733

所以a10＝－2×10＋＝－.] 22

1

4．已知等差数列{an}中，d＝－，a7＝8，则a1＝________.

31

10 [由a7＝a1＋6d＝8且d＝－代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10.]

3

3272

【例1】 判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3－2n；(2)an＝n－n.

2

等差数列的判定 [解] (1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，所以数列{an}是等差数

列．

(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)－(n＋1)]－(n－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．

2

2

等差数列的判断方法——定义法

等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或an－an－1＝d(d为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．

[提醒] 当d＞0时，等差数列{an}是递增数列； 当d＜0时，等差数列{an}是递减数列； 当d＝0时，等差数列{an}是常数列．

1．若数列{an}满足an＋1＝

?1?an，a1＝1，求证：数列??是等差数列． 2an＋1?an?

an12an＋11

[证明] 由an＋1＝得＝＝2＋，

2an＋1an＋1anan?1?

即－＝2，所以数列??是首项为1，公差为2的等差数列． an＋1an?an?

11

【例2】 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； 等差数列的通项公式及应用 (2)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an. [解] (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 故an＝8－3(n－1)＝11－3n， 则a20＝11－3×20＝－49.

??a1＋5d＝12，(2)由题意可得?

?a1＋17d＝36，?

解得d＝2，a1＝2，

故an＝2n.

等差数列通项公式的四个应用

(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量．

(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．

(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项．

(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．

2．(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n；

(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？

??a1＋3＝4，

[解] (1)由条件知?

?a1＋3?n－1?＝22，?

解得a1＝1，n＝8；

(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，

得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项．

[探究问题] 等差数列的实际应用 1．一种游戏软件的租金，第一天5元，以后每一天比前一天多1元，那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？

[提示] 每天的租金构成以5为首项，以1为公差的等差数列，an＝5＋(n－1)×1＝n＋4(n≥2)．

2．直角三角形三边长成等差数列，你能求出三边的比吗？

[提示] 设直角三角形的三边长分别为a，a＋d，a＋2d(a＞0，d＞0)，则(a＋2d)＝a＋(a＋d)，即a－2ad－3d＝0，

解得a＝3d，则三边长分别为3d,4d,5d， 故三边长的比为3∶4∶5.

【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4

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