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数学实验结课论文

——导弹跟踪问题

班级：信息与计算科学

姓名：孔雪婷 学号：2012518083

实验一 导弹跟踪问题

一．实验目的

本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习微分方程的建模和求解，介绍两种求解微分方程的数值方法：Euler法和改进的Euler法，还介绍了仿真方法。 二．实际问题

某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹的速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌艇？

三．数学模型

设坐标系如下，取导弹基地为原点0（0,0）。x轴指向正东方，y轴指向正北方。

当t=0时，导弹位于O，敌艇位于点（0，H），（H=120（km））设导弹t时刻的位置为P（x(t),y(t)），由题意，

其中vw?450(km/h)。

（4.1）

另外在t时刻，敌艇位置应该为M(vet,H)，其中ve=90（km/h）。由于导弹

轨迹的切线方向必须指向敌艇，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有

dyH?y （4.2） ?dxvet?xdydxH?y?() （4.3） dtdtve?x

方程（4.3）初值条件想 x（0）=0，y（0）=0 (4.4) 构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。 由（4.2）得

dx(H?y)?vet?x dy两边对t求导得

xdydx?dy?dx (H?y)??????ve2dy?dt?dtdydt即有

d2xdy?H?y??ve 2dtdy把（4.1）写为

dy?dtd2v?dx???dy????e2代入上式，就得到轨迹方程。这是一个二阶非

?1线性微分方程，加上初值条件，则初值问题

?2x?H?y??ve?d22?dyvw??dx??1?????dy????? ?x?1y?0???dx??dyy?0???上式分别为（4.5），（4.6），（4.7）。 就是导弹的轨迹的数学模型。