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湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(理科)
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
y
1．设复数z＝x＋yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若＝x＋i，则复数z的共轭
1－i
复数在复平面内对应的点位于(D)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】由已知，y＝(1－i)(x＋i)＝x＋1＋(1－x)i，则y＝x＋1，且1－x＝0，即x＝1，y＝2.
－
所以z＝x－yi＝1－2i，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.
π
2．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ的值为(B)
3
3322A. B．－ C. D．－ 2233
3
【解析】由已知，(3a＋λb)·a＝0，即3a2＋λb·a＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－，选B.
2
3．下列说法中正确的是(C)
A．若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为10
B．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60
C．某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm，则这批零件不合格
D．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病
【解析】对于A，若x1，x2，…，xn的平均数为5，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；
对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．
对于C，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u－3σ，u＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．
对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.
n121??4．已知?2x－x?(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项
x
的系数是(A)
A．－84 B．84 C．－24 D．24
1?r－nr27－r?14－3r
【解析】由已知，2＝128，得n＝7，所以Tr＋1＝C7(2x)?－x?＝(－1)r·27rCr. 7x1－
令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含项的系数为(－1)5275C57＝－84，选A. x
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是(A)
A．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＞0 B．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＜0 C．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＞0
D．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＜0 【解析】由已知，f(b)＞f(0)＝0.因为a＋c＝2b＞0，则a＞－c，从而f(a)＞f(－c)＝－f(c)， 即f(a)＋f(c)＞0，选A.
6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在1?区间??2，3?内的概率为(C)
3513
A. B. C. D. 4828
1?【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈??4，1?；
当x∈(0，2]时，y＝2x＋1∈(1，5]．
1?21
，3时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C. 所以当y∈??2?42
7．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：(B)
π5π?
①函数f(x)的最小正周期是2π；②函数f(x)在区间??8，8?上是减函数；③函数f(x)的图
ππ
象关于直线x＝对称；④函数f(x)的图象可由函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位得
84
到．其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
π2x＋?. 【解析】f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin?4??
①因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论错误．
π5π?π5πππ3π
，时，2x＋∈?，?，则f(x)在区间?，?上是减函数，结论正确． ②当x∈??88??88?4?22?π?π
③因为f?＝2为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝对称，结论正确． ?8?8
πππ
x＋?＝2sin 2?x＋?＝2sin?2x＋?＝2cos 2x≠f(x)，结论④设g(x)＝2sin 2x，则g?2??4??4??
错误，选B.
8.已知命题p：若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：x>0，使(x－1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
a＋b111111
【解析】若a＞2且b＞2，则<且<，得＋<1，即<1，从而a＋b＜ab，所以
a2b2abab
1?x?命题p为真．因为直线y＝x－1与函数y＝?2?的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x1?x
－1＝?有正数解，即方程(x－1)·2＝1有正数解，所以命题q为真，选A. ?2?
9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为(D)
A．5 B．4 C．3 D．2
x
a＋b≤1，??
【解析】令|x|＝a，|y|＝b，则?a≥0，且z＝2a－b.作可行域，平移直线l：b＝2a－z，
??b≥0，由图知，当直线l过点(1，0)时，直线l的纵截距最小，从而z为最大，且zmax＝2×1－0＝2，
选D.
10．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，AB⊥AD，BD⊥CD.将该四边形沿对角线BD折成一个直二面角A―BD―C，则四面体ABCD的外接球的体积为(B)
23A.π B.π 32C．2π D．3π
【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB. 因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD，从而AB⊥AC，所以BC是外接球的直径．
3
在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝3，则球半径R＝. 2
4?3?33
所以外接球的体积V＝π＝π，选B.
3?2?2
22xy
11．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲
ab
线上存在点M满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则双曲线的离心率为(C)
A．6 B．3 C.6 D.3
【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|＝|MF2|，则A为OF2的中点，所
c3c9
以|AF2|＝，|AF1|＝.设|MF2|＝m，则|MF1|＝2m.在Rt△MAF1中，|MA|2＝4m2－c2.
224
22c9c
在Rt△MAF2中，|MA|2＝m2－，则4m2－c2＝m2－，即3m2＝2c2.
444
c
因为|MF1|－|MF2|＝2a，则m＝2a，所以3×(2a)2＝2c2，即c2＝6a2，所以e＝＝6，选
a
C.
12．对于给定的正整数n，设集合Xn＝{1，2，3，…，n}，AXn，且A．记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)＝(D)
A．2 018×22 018＋1 B．2 018×22 017＋1 C．2 017×22 017＋1 D．2 017×22 018＋1
【解析】对于集合Xn，满足I(A)＝1的集合A只有1个，即{1}；满足I(A)＝2的集合A有2个，即{2}，{1，2}；满足I(A)＝3的集合A有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；
－－
满足I(A)＝n的集合A有2n1个，所以S(n)＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n1. 由错位相减法，得S(n)＝(n－1)2n＋1，所以S(2 018)＝2 017×22 018＋1，选D. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．
π1π7α－?＝，则sin?2α－?＝__－__． 13．已知cos?6??3?3?9πππππ7
2α－?＝sin?2?α－3?＋?＝cos 2?α－?＝2cos2?α－?－1＝－. 【解析】sin?6??2???3??3???9
→1→→→1→
14．如图，在△ABC中，AD＝DC，P是线段BD上一点，若AP＝mAB＋AC，则实数
36
1m的值为____．
3→1→→→→→2→
【解析】因为AD＝DC，则AC＝4AD，所以AP＝mAB＋AD.
33
21
因为B，P，D三点共线，则m＋＝1，所以m＝.
33
15．已知函数f(x)＝|2x－1|－a，若存在实数x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)＝－1，则a的取值范围是__(1，2)__．
【解析】令f(x)＝－1，则|2x－1|＝a－1.据题意，直线y＝a－1与函数y＝|2x－1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
2
1＋?an(n∈N*)，则数列{an}16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且Sn＝4－??n?n的通项公式是an＝__n－1__．
222?22
1＋?an，则?2＋?an＝?1＋【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝?1＋n－1?an－1－??n??n????n－1?an
－1，
an－1anan1an?1?n－1
即＝，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则＝?2?，即n2（n－1）n2nnan＝n－1.
2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.
(1)若BC＝22，求∠CBD的大小；
(2)设△BCD的面积为S，求S的取值范围．
【解析】(1)在△ABD中，因为AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，则
1
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝16＋4－2×4×2×＝12，所以BD＝23.(3分)
2
BCBD
在△BCD中，因为∠BCD＝120°，BC＝22，BD＝23，由＝，得
sin∠CDBsin∠BCD
BCsin∠BCD22sin 120°2
sin∠CDB＝＝＝，则∠CDB＝45°.(5分)
BD223
所以∠CBD＝60°－∠CDB＝15°.(6分) (2)设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°－θ.
BCBD
在△BCD中，因为＝＝4，则BC＝4sin(60°－θ)．(8分)
sin（60°－θ）sin 120°
131
所以S＝BD·BC·sin∠CBD＝43sin(60°－θ)sin θ＝43?cos θ－sin θ?sin θ
22?2?
＝3sin 2θ－23sin2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3 ＝23sin(2θ＋30°)－3.(11分)
1
因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°， 2 故S的取值范围是(0，3]．(12分) 18．(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝120°，D为BC的中点． (1)求证：AD⊥PB； (2)若二面角A－PB－C的大小为45°，求三棱锥P－ABC的体积． 【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC＝27. 因为D为BC的中点，则BD＝CD＝7.(2分) 1→→1→→→1→→→→→ 因为AD＝(AB＋AC)，则AD2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC) 244 1 ＝(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD＝3.(4分) 4 因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD.(5分) 因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB.(6分) (2)解法一：因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE. 则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．(8分) 在Rt△DAE中，由已知，∠AED＝45°，则AE＝AD＝3.(9分) 在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝AB2＋PA2＝4＋a2.(10分) 因为AB×AP＝PB×AE，则2a＝4＋a2×3，即 4a2＝3(4＋a2)，解得a2＝12，所以PA＝a＝23.(11分) 111 所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin 120°×23＝4.(12分) 332 解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图． 设PA＝a，则点B(2，0，0)，D(0，3，0)，P(0，0，a)． →→ 所以BD＝(－2，3，0)，BP＝(－2，0，a)．(8分) 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则 →?BD＝0，?－2x＋3y＝0，?m·?即? →－2x＋az＝0.??BP＝0，?m· 2323? 取x＝3，则y＝2，z＝，所以m＝?3，2，.(9分) aa?? 2|m·n|2 因为n＝(0，1，0)为平面PAB的法向量，则|cos〈m，n〉|＝cos 45°＝，即＝. 2|m|·|n|2