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院、系领导 审批并签名 B 卷 广州大学2014-2015学年第二学期考试卷解答

课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次 一 二 三 四 五 六 七 总 分 评卷人 分 数 15 15 24 12 12 12 10 100 得 分 一、选择题（每小题3分，总计15分）

1．某人向靶子射击三次，用Ai表示“第i次击中靶子”（i?1,2,3），那么事件

A1?A2?A3表示（ C ）.

(A) 恰好有一次没击中； (B) 至少有两次击中； (C) 至少有一次没击中； (D) 三次都没击中. 2．设A、B是随机事件，下列结论中正确的是 ( B ).

(A) P(A?B)?P(A)?P(B)； (B)P(A)?P(AB)?P(AB)； (C) 若P(A)?P(B), 则A?B； (D) 若P(AB)?0, 则AB??. 3．设随机变量X的概率密度为f(x)?1XY?e，则的概率密度fY(y)?（ C ）. 2?(1?x)ey111(A) ； (B) ； (C) ； (D) .

?(1?e2y)?y(1?ln2y)?(1?e2y)?(1?ln2y)4．设随机变量X的分布律为P{X?k}?k，（k?1,?,6），则P{X?3}?( B ). 215621(A) ； (B) ； (C) ； (D) .

77775. 设?,?是随机变量，下列说法正确的是（ C ）.

(A) D(???)?D(?)?D(?)； （B）若?,?独立，则D(??)?D(?)D(?)；

(b?a)2(C) 若?~U(a,b),则D(?)?； D）若?~b(n,p),则D(?)?np(1?p).

12

二、填空题（每小题3分，总计15分） 1．袋中有6个红球，4个白球.从中任取2个，则恰好取到2个白球的概率是_2/15_. 2.同时掷三枚均匀的硬币，则至多出现一次正面的概率为____1/2 ___.

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3.设P(A)?0.5,P(AB)?0.2,P(B)?0.6, 则P(A?B)?__ 0.7 _____.

?k??e (k?0,1,?). 4．设X服从参数为?的泊松分布, 则分布律为P{X?k}?k!5．设随机变量E(X)?2,E(Y)?3, 则E(2X?Y?1)? 6 .

三、(每小题8分，总分24分)

1.设3人独立地去破译一个密码，他们能译出密码的概率依次为0.6，0.4，0.5，则此密码被译出的概率是多少？

解：设Ai表示“第i个人破译出密码” (i=1,2，3)，B表示“此密码被译出”，则

P(B)?P(A1?A2?A3)?1?P(A1A2A3) ------3分

?1?P(A1)P(A2)P(A3) ------5分

?1?(1?0.6)(1?0.4)(1?0.5) ------7分 ?0.88 ------8分

2.某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的40%、30%、30%，各车间产品的次品率分别为5%、4%、2%，求全厂产品的次品率.

解：设A1表示“该产品是甲厂生产的”，A2表示“该产品为乙厂生产的”， A3表示“该产品为丙厂生产的”，B表示“该产品是次品”， ------2分 由题设，知 P(A1)?40%,P(A2)?30%,P(A3)?30%，

P(B/A1)?5%,P(B/A2)?4%,P(B/A3)?2%， ------5分 由全概率公式得 P(B)??P(Ai)P(B|Ai)

i?13?40%?5%?30%?4%?30%?2%?3.8%. ------8分

3.设某元件的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度为

???e??xf(x)????01)?1000解：P(X?10001000??x?01， 其中参数??， 其它1000x??e1000??求3个这样的元件使用1000小时，至少已有一个损坏的概率.

?x?e1000dx??e?1 ------4分

1000?1设Y表示3个元件中使用1000小时损坏的元件数，则Y~B(3,1?e) 所求的概率为

P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(e?1)3?1?e?3 ------8分

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四、（本题总分12分）

已知随机变量X的分布律为 X pk 1 2 3 b 0.3 a 且P{X?2.5}?0.7.

（1）求a，b的值； （2）求X的分布函数； （3）求Y?X2?1的分布律. 解：（1） a?0.4，b?0.3 ------4分 （2）随机变量X的分布函数为

?0?0.3?F(x)???0.7??1（3）

X2?1 pk x?11?x?22?x?3 ------8分 x?32 5 10 0.3 0.4 0.3 ------12分 五、（本题总分12分）

设总体X服从0-1分布b(1,p)，x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本观察值，求参数p的最大似然估计值. 解：X的分布律为

P(X?x)?px(1?p)1?x,x?0,1，------3分

似然函数为

L(p)??pxi(1?p)1?xi，------5分

i?1nlnL(p)??xilnp??(1?xi)ln(1?p)，------7分

i?1i?1nndlnL(p)nxin1?xi，------10分 ????dpi?1pi?11?pdlnL(p)?0，求得参数p的最大似然估计值为 令

dp1n???xi?x.------12分 pni?1

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