内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:01:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 数系的扩充与复数的引入
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( ) 12
A. B. C.2 D.2 22答案 C
2i解析 解法一:由(1+i)z=2i,得z==1+i,
1+i∴|z|=2.故选C. 解法二:∵2i=(1+i)2,
∴由(1+i)z=2i=(1+i),得z=1+i,∴|z|=2.故选C. 2.[2018·湖南模拟]已知
1-i
2
2
z=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 答案 D 解析 由
1-i
2
z1-i
=1+i,得z=
1+i
2
=
-2i
= 1+i
-2i1-i
=-1-i.
1+i1-i
3.[2018·江西模拟]已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2为( )
13
A.+i 2213
C.-i 22答案 A
解析 z1·z2=(cos23°+isin23°)·(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=+
3
i.故选A. 2
4.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,则=( ) A.1+i 4C.1+i
5答案 B
解析 因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,所以z2=2-i,
34B.+i 554D.1+i
3
12
B.D.31+i 2231-i 22
z1z2
z12+i2+i所以==
z22-i5
复数为( )
2
34
=+i.故选B. 55
3
5.[2018·天津模拟]已知复数z满足(i-1)(z-i)=2i(i为虚数单位),则z的共轭A.i-1 B.1+2i C.1-i D.1-2i 答案 B
2i-2i1+i3
解析 依题意可得z=+i=-i=-(i-1)-i=1-2i,其共轭
i-11-i1+i复数为1+2i,故选B.
6.已知a为实数,若复数z=(a-1)+(a+1)i为纯虚数,则A.1 B.0 C.1+i D.1-i 答案 D
1+i
解析 z=(a-1)+(a+1)i为纯虚数,则有a-1=0,a+1≠0,得a=1,则有
1+i
2
2
2016
2
a+i2016
1+i
=( )
=
1+121-i
==1-i,选D. 1+i1+i1-i
22
7.[2018·郴州模拟]设z=1-i(i是虚数单位),若复数+z在复平面内对应的向量为
z→
OZ,则向量OZ的模是( )
A.1 B.2 C.3 D.2 答案 B
解析 z=1-i(i是虚数单位),
22221+i2复数+z=+(1-i)=-2i=1-i.
z1-i1-i1+i→2
向量OZ的模:1+-18.[2018·温州模拟]满足1i答案 -
22
解析 由已知得z+i=zi,则z(1-i)=-i, -i-i1+i1-i1i即z====-.
1-i1-i1+i222
9.若=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=________. 1-i答案
5
2
→
=2.故选B.
z+i
=i(i为虚数单位)的复数是________. za解析 ∵a,b∈R,且
??a=1-b,???0=1+b,
a1-i
=1-bi,则a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,∴
??a=2,
∴???b=-1,
∴|a+bi|=|2-i|=2+-1________,ab=________.
答案 5 2
解析 (a+bi)=a-b+2abi.
2
2
2
2
2
22
=5.
2
2
2
10.[2017·浙江高考]已知a,b∈R,(a+bi)=3+4i(i是虚数单位),则a+b=
??a-b=3,2
由(a+bi)=3+4i,得?
?ab=2.?
解得a=4,b=1.
22
所以a+b=5,ab=2.
[B级 知能提升]
1.[2018·成都模拟]已知复数z1=2+6i,z2=-2i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为 z,则|z|=( )
A.5 B.5 C.25 D.217 答案 A
解析 复数z1=2+6i,z2=-2i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A(2,6),B(0,-2),线段AB的中点C(1,2)对应的复数为z=1+2i,则|z|=1+2=5.故选A.
2.[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题
1
2
2
22
p1:若复数z满足∈R,则z∈R; zp2:若复数z满足z2∈R,则z∈R; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2; p4:若复数z∈R,则z∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案 B
解析 设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R). 11a-bi
对于p1,若∈R,即=2∈R,则b=0?z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题.
za+bia+b2对于p2,若z∈R,即(a+bi)=a+2abi-b∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+
2
2
2
2
bi=bi∈/ R,所以p2为假命题.
对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1
=0.而z1=z2,即a1+b1i=a2-b2i?a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0?/ a1=a2,b1=-
b2,所以p3为假命题.
对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0?z=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.故选B.
3.[2018·厦门模拟]已知复数z=x+yi,且|z-2|=3,则的最大值为________.
yx