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格 林

中国科学院数学研究所 李文林

格林，G．(Green，George)1793年6月或7月生于英国诺丁汉郡；1841年5月31日卒于诺丁汉郡．数学．

1793年7月14日，英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿上增加了当地面包师G．格林(Green)与其妻莎拉(Sarah)新生男婴的名字——与父亲同名的乔治．格林的具体生日不详，据命名日估计应在当年6月1日与7月14日之间．格林8岁时曾就读于R．古达克尔(Goodacare)私立学校．

据格林的妹夫W．汤姆林(Tomlin)回忆，格林在校表现出非凡的数学才能．可惜这段学习仅延续了一年左右．1802年夏天，格林就辍学回家，帮助父亲做工．19世纪初的诺丁汉郡正处于上升时期．编织业的发达，造成了人口的密集，与拿破仑的战争又促使小麦生意兴隆．1807年，格林的父亲在诺丁汉近郊的史奈登(Sneiton)地方买下一座磨坊，从面包师变成了磨坊主．父子二人惨淡经营，家道小康．但格林始终未忘他对数学的爱好，以惊人的毅力坚持白天工作，晚上自学，把磨坊顶楼当作书斋，攻读从本市布朗利(Bromley)图书馆借来的数学书籍．布朗利图书馆是由诺丁汉郡有影响的知识界与商业界人士赞助创办的，收藏有当时出版的各种重要的学术著作以及全套《皇家学会哲学学报》

(Philosophical Transactions of Royal Society)．对格林影响最大的是法国数学家P．S．拉普拉斯(Laplace)、J．L．拉格朗日(Lagrange)、S．D．泊松(Poisson)、S．P．拉克鲁阿(Lacroix)等人的著作．通过钻研，格林不仅掌握了纯熟的分析方法，而且能创造性地发展、应用，于1828年完成了他的第一篇也是最重要的论文——“论数学分析在电磁理论中的应用”(An essay on

theapplication of mathematical analysis to the theories of electri－city and magnetism)．这篇论文是靠他的朋友们集资印发的，订阅人中有一位E．F．勃隆黑德(Bromhead)爵士，是林肯郡的贵族，皇家学会会员．勃隆黑德发现了论文作者的数学才能，特地在自己的庄园接见了格林，鼓励他继续研究数学． 与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折．勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(Gonville－Caius)学院出身，同时又是剑桥分析学会的创始人之一．他建议格林到剑桥深造．1829年1月，格林的父亲去世，格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备．这期间他又完成了三篇论文——“关于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推荐发表．1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔-

凯厄斯学院的自费生．经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试

(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委．正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故．

格林生前长期与磨坊领班W．史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚．最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算．格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿．

格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想．

格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一．拉普拉斯在引力计算、泊松在电磁问题中都曾用过这样的函数V，它同力场分量(X，Y，Z)的关系为

拉普拉斯同时指出函数V满足方程

并采用球调和方法来解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体，因此有必要发展更一般的理论，这正是格林的工作与前人不同的地方． 格林认识到函数V的重要性，并首先引进了“位势函数”这一名称，他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道：

“这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值．由于它在下文中频繁出现，我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数，它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”．

格林接着便发展了位势函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名．设有函数U与V，在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑．格林从体积分

出发，应用分部积分法推导得

以上采用的是格林的原始记号，其中dσ为曲面σ的微元，dω为σ的内法线段微元，而

公式(或称格林定理)．用现代记号表示则相当于

格林还进一步探讨了U，V在τ内有奇点的情况，提出格林函数的概念．这是一种带奇性的特殊位势U，满足方程δU=0，且“仅在曲面

的距离”．格林同时假设U在曲面本身上恒等于零．用现代记号表示，格林函数G(r，r′)满足条件：

且有

以及

G(r，r′)= 0(当r∈σ)．