内容发布更新时间 : 2024/10/2 7:25:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 ????????????????????????2、向量加法：设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC ?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；
????????????????????????． AB?BC?CD???PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”
??3、向量的减法： ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量
????????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a??的终点的向量（a、b有共同起点）
??4、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
??????（Ⅰ）?a???a； （Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，λa的方向与a的
??方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意的 ????5、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a 6、平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示
?????????????a1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成a?xi?yj，记作a=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：
????(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? ????(2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB??x2?x1,y2?y1?
??(3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)
????(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 ????(5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2
??若a?b，则x1?x2?y1?y2?0
三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
??????已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·b=︱a︱·︱b︱cos? ????a叫做与b的数量积（或内积） 规定0?a?0 ?????a?b2向量的投影：︱b︱cos?=?∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影 |a|?????3数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|2
????5乘法公式成立：
???????????a?b??a?2a?b?b22?????2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b；
2?2???2?a?2a?b?b
6平面向量数量积的运算律：
????①交换律成立：a?b?b?a
??????②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R?
????????????③分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b?
??????特别注意：（1）结合律不成立：a??b?c???a?b??c；
??????（2）消去律不成立a?b?a?c不能得到b?c?
??????（3）a?b=0不能得到a=0或b=0
??7两个向量的数量积的坐标运算：
????已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2
?????????????008向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=? （0???180）叫做向量a?与b的夹角 ???x1x2?y1y2?a?bcos?=cos?a,b????= 2222a?bx1?y1?x2?y2?????00
当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与其它任何非
零向量之间不谈夹角这一问题 ??????0
9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件： ????a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0平面向量数量积的性质
【练习题】 1、给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
????????②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3
D．4
2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
3、设两个非零向量a与b不共线．
????????????(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
????4、已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与AB同向的单位向量是( )
34，－? A.?5??5
43－，? C.??55?
34
－，? B.??55?43，－? D.?5??5
????????????5、在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为( )
11A. B. 231C. 4
D．1
π
6、已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
37、已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，a＋b＋c＝0，则a与c的夹角为( ) A．150° C．60°
B．90°
D．30°
8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.