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2019人教版精品教学资料·高中选修数学

复习课(二) 随机变量及其分布

对应学生用书P50 条件概率

(1)在近几年的高考中对条件概率的考查有所体现，一般以选择题或填空题形式考查，难度中低档．

(2)条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．

[考点精要] 条件概率的性质

(1)非负性：0≤P(B|A)≤1．

(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

[典例] 口袋中有2个白球和4个红球， 现从中随机地不放回连续抽取两次， 每次抽取1个， 则：

(1)第一次取出的是红球的概率是多少？

(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？

(3)在第一次取出红球的条件下， 第二次取出的是红球的概率是多少？ [解] 记事件A：第一次取出的是红球； 事件B：第二次取出的是红球．

(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个， 所有基本事件共6×5个； 第一次取出的是红球， 第二次是其余5个球中的任一个， 符合条件的有4×5个， 所以

4×52P(A)＝＝．

6×53

(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)4×32＝＝． 6×55

2P?AB?53(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝＝＝．

P?A?25

3[类题通法]

条件概率的两个求解策略

P?AB?P?AB?

(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝或P(B|A)＝求解．

P?B?P?A?

n?AB?

(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．

n?A?其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．

[题组训练]

1．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．

解析：令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依

2

题意知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C4＝6，∴P(B|A)＝

n?AB?61

＝＝． n?A?8414

答案：

1 14

2．已知男人中有5%患色盲，女人中有0．25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．

(1)求此人患色盲的概率．

(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)． 解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C．

(1)此人患色盲的概率

P＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝

10051000.2521×＋×＝． 200100200100800

521，又因为P(C)＝， 200800

(2)由(1)得P(AC)＝

5

P?AC?20020

所以P(A|C)＝＝＝．

2121P?C?

800

相互独立事件的概率与二项分布

(1)相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，高考经常考查，各种题型均有可能出现，难度中低档． 而二项分布也是高考考查的重点，高考以大题为主，有时也以选择、填空题形式考查．

(2)解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．

[考点精要]

(1)若事件A与B相互独立， 则事件A与B，A与B，A与B分别相互独立， 且

有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．

(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． (3)在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率

knk

为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ck，np(1－p)

－

k＝0,1,2，…，n．

(4)二项分布满足的条件

与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定： ①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．

③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

43

[典例] 某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙

557

当选的概率为．

10

(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．

[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C， 437

则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．

5510(1)∵A，B，C相互独立， ∴ 恰有一名同学当选的概率为

P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)

＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C) 42313312747

＝××＋××＋××＝． 551055105510250(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC) 43783

＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝．

5510125[类题通法]

求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题

(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．

(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB) ”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．