高中数学-放缩法、几何法、反证法练习 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:07:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高中数学-放缩法、几何法、反证法练习

一、选择题

1.实数a,b,c不全为0的等价条件是( ) A.实数a,b,c均不为0 B.实数a,b,c中至多有一个为0 C.实数a,b,c中至少有一个为0 D.实数a,b,c中至少有一个不为0

解析:实数a,b,c不全为0的含义是实数a,b,c中至少有一个不为0. 答案:D

2.设x>0,y>0,M=x+y2+x+y,N=x2+x+y2+y,则M,N的大小关系是( )

A.M >N B.M

D.不能确定

解析:N=x2+x+y2+y>xyx+y2+x+y+2+x+y=2+x+y=M.

答案:B 3.已知x=a+1a?1?2?2

-2(a>2),y=???

b-2(b<0),则x,y之间的大小关系是( A.x>y B.x<y C.x=y

D.不能确定

解析:易得x=a-2+

1

a-2

+2≥2+2=4(a>2), 而b2

-2>-2(b<0),即y=??1?2??2?b-2<??1?2??-2?

=4,

所以x>y. 答案:A

4.设M=1111

210+210+1+210+2+…+211-1,则( )

A.M=1 B.M<1

C.M >1

D.M与1大小关系不定

解析:M=111

210+210+1+…+211-1

<

) 1

110

=2×10=1.

2

答案:B 二、填空题

5.若a>b>0,m>0,n>0,则,,______________________.

解析:由a>b>0,m>0,n>0,知

abbab+ma+n,,按由小到大的顺序排列为a+mb+nbb+mbb+n<<1且<<1. aa+maa+n则>aa+na+na>1,即1<<. bb+nb+nbbb+ma+na<< aa+mb+nb12a,

12a+1

1

答案:<6.已知a∈(0,+∞),则_____________________.

a+a+1

从大到小的顺序为

解析:∵a+a+1>a+a=2a,

a+a+1<a+1+a+1=2a+1,

∴2a<a+a+1<2a+1. ∴

12a>12a1>.

a+a+12a+1>

1>

a+a+12a+111

答案:

三、解答题

7.已知数列{an}的前n项和Sn=(n+n)·3. 求证:2+2+…+2>3.

12n证明:当n=1时,2=a1=S1=6>3;

1当n>1时,

2

na1a2anna1

a1a2

2+2+…+2 12nanS1S2-S1S3-S2Sn-Sn-1=2+2+2+…+ 123n2 2

?11??11??=?2-2?S1+?2-2?S2+…+??12??23??

Snn2+nnn>2=2·3>3. nn1

n-1

1?Sn-22?Sn-1+2

n?

n所以当n≥1时,2+2+…+2>3.

12n1

8.设函数f(x)定义在区间(0,+∞)上,且f(1)=0,导函数f′(x)=,函数g(x)

a1a2annx=f(x)+f′(x).

(1)求函数g(x)的最小值;

1

(2)是否存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<对任意x>0恒成立?若存在,请求

x出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.

1

解:(1)由题设,易知f(x)=ln x,g(x)=ln x+.

x∴g′(x)=

x-1

.令g′(x)=0,得x=1. x2

当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故区间(0,1)是函数

g(x)的单调递减区间;

当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故区间(1,+∞)是函数g(x)的单调递增区间. ∴函数g(x)的最小值为g(1)=1. (2)满足条件的x0不存在.理由如下:

1

假设存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<对任意x>0恒成立.

x由(1),知函数g(x)的最小值为g(1)=1. ∴当x≥1时,函数g(x)的值域为[1,+∞), 从而可取一个x1>1,使g(x1)≥g(x0)+1, 即g(x1)-g(x0)≥1.

1

故|g(x1)-g(x0)|≥1>,与假设矛盾.

x1

1

∴不存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<对任意x>0恒成立.

x

一、选择题

1.lg 9lg 11与1的大小关系是( ) A.lg 9lg 11>1 C.lg 9lg 11<1

B.lg 9lg 11=1 D.不能确定

3

解析:因为lg 9>0,lg 11>0,且lg 9≠lg 11, 所以lg 9lg 11<?答案:C

2.若|a|<1,|b|<1,则( ) A.?C.?

?lg 9+lg 11?2=?lg 99?2<?lg 100?2=1.

??2??2?2??????

?a+b?=1

??1+ab??a+b?≤1

??1+ab?

?a+b?≥1,

??1+ab?

22

B.?D.?

?a+b?<1

??1+ab??a+b?≥1

??1+ab?

解析:假设?

则|a+b|≥|1+ab|

?a+b+2ab≥1+2ab+ab

2

2

?a+b-1-ab≥0

2

2

22

?a(1-b)- (1-b)≥0

2

2

2

?(a-1)(1-b)≥0.

2

2

由上式,知a-1≤0,1-b≤0或a-1≥0,1-b≥0. 与已知矛盾,故?答案:B 二、填空题

3.若直线y=x+m与曲线x=1-y恰有一个公共点,则实数m的取值范围是______________.

解析:

2

2222

?a+b?<1.

??1+ab?

如图所示,曲线x=1-y 是半圆(x≥0),

2

A(1,0),B(0,-1),C(0,1),kAB=1,这时直线AB在y轴上的截距为-1(m≠-1),

往上平移至C点时适合题意(m=1),往下平移至相切时在y轴上的截距为-2, 所以直线y=x+m与曲线x=1-y 恰有一个公共点时,实数m的取值范围是{m|-1<m≤1或m=-2}.

答案:{m|-1<m≤1或m=-2}

4

2

4.完成下列反证法证题的全过程.

题目:设a1,a2,…,a7是1,2,3,…,7的一个排列, 求证:p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.

证明:假设p为奇数,则____________________均为奇数. 因为奇数个奇数的和还是奇数,

所以奇数=____________________=____________________=0. 但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.

解析:假设p为奇数,则(a1-1),(a2-2),…,(a7-7) 均为奇数.

因为奇数个奇数的和还是奇数,

所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+3+…+7)=0.

但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.

答案:(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+…+a7)-(1+2+3+…+7)

三、解答题

?π?5.已知x1,x2∈?0,?.

2??

求证:tan x1+tan x2>2tan

x1+x2

2

.

证明:不妨设x2>x1.在单位圆中,过点A作单位圆的切线AT,在AT上取B,C两点,使∠BOA=x1,∠COA=x2,取∠DOA=

x1+x2

2

,E为BC的中点.

?π?∵x 1,x2∈?0,?, 2??

∴|OC|>|OB|,|AB|=tan x1,|AC|=tan x2, |AD|=tan

x1+x2

2

.

|BD||OB|

易得OD是∠BOC的平分线,由三角形内角平分线的性质,得=. |DC||OC|

5