内容发布更新时间 : 2024/12/23 0:17:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
超级狩猎者
5…【分析】 题设相当于已知lim?(x)?1，由此确定k即可.
x?0?(x)【详解】 由题设，lim?(x)1?xarcsinx?cosx ?lim2x?0?(x)x?0kxxarcsinx?1?cosxkx(1?xarcsinx?cosx)2 =limx?0
=
1xarcsinx?1?cosx33lim??1k?. ，得2x?02k4k4x【评注】 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分，本质上，这类问题均转化为极限
的计算.
6…【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设，有
B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)
?111??? =(?1,?2,?3)123， ????149??111于是有 B?A?123?1?2?2.
149【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若
?1?a11?1?a12?2???a1n?n， ?2?a21?1?a22?2???a2n?n，
????
?m?am1?1?am2?2???amn?n，
?a11?a??m????1,?2,?,?n??12????a1na21?am1?a22?am2??. ?????a2n?amn?则有 ??1?27.【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.
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【详解】 当x?1时，f(x)?limn1?xn??3n?1；
当x?1时，f(x)?limn1?1?1；
n??当x?1时，f(x)?limx(n??31x3n?1)?x.
1n3??x3,x??1,?即f(x)??1,?1?x?1, 可见f(x)仅在x=?1时不可导，故应选(C).
?x3,x?1.?【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点.
8….
【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x)??x0f(t)dt?C，且F?(x)?f(x).
当F(x)为偶函数时，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即 ?f(?x)?f(x)，也即f(?x)??f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则数，从而F(x)??x0f(t)dt为偶函
?x0f(t)dt?C为偶函数，可见(A)为正确选项.
12x, 排除(D); 2 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=
故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？
9..【分析】 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标.
【详解】 当x=3时，有t?2t?3，得t?1,t??3（舍去，此时y无意义），于是
2dy
dx1?1?tt?12t?2t?1?1，可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： 8 y?ln2??8(x?3)，
令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为：ln2?3, 故应(A).
【评注】注意本题法线的斜率应为-8. 此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错.
10…【分析】 由于未知f(x)的具体形式，直接化为用极坐标计算显然是困难的. 本题可考虑用轮换对称性.
18超级狩猎者
【详解】 由轮换对称性，有
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d????Daf(y)?bf(x)f(y)?f(x)d?
=
af(x)?bf(y)af(y)?bf(x)1[?]d? 2??f(x)?f(y)f(y)?f(x)D =
a?ba?b1a?b2d?????2??. 应选(D). 2??242D【评注】 被积函数含有抽象函数时，一般考虑用对称性分析. 特别，当具有轮换对
称性（x,y互换，D保持不变）时，往往用如下方法：
??Df(x,y)dxdy???f(y,x)dxdy?D1[f(x,y)?f(y,x)]dxdy. ??2D?2u?2u?2u11…【分析】 先分别求出2、2、，再比较答案即可.
?x?x?y?y【详解】 因为
?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)， ?x
?u???(x?y)???(x?y)??(x?y)??(x?y)， ?y?2u????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)， 于是 2?x?2u ????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)，
?x?y?2u ????(x?y)????(x?y)???(x?y)???(x?y)， 2?y?2u?2u可见有2?，应选(B).
?x?y2【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取?(t)?t,?(t)?1，则u(x,y)?2x?2y?2y，容易验算只有
222?2u?2u成立，同样可找到正确选项(B). ??x2?y2
12….【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
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且 limf(x)??，所以x=0为第二类间断点；
x?0f(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). f(x)?0，lim lim??x?1x?1xx???lim???. 从而limex?1???，【评注】 应特别注意：lim，???x?1x?1x?1x?1x?1xx?1?limexx?1?0.
13….【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k1?1?k2A(?1??2)?0，则
k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0， (k1?k2?1)?1?k2?2?2?0. 由于?1,?2线性无关，于是有
?k1?k2?1?0, ?
k??0.?22 当?2?0时，显然有k1?0,k2?0，此时?1，A(?1??2)线性无关；反过来，若?1，A(?1??2)线性无关，则必然有?2?0(,否则，?1与A(?1??2)=?1?1线性相关)，故应选(B).
方法二： 由于 [?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]??1?1?， ??0?2?可见?1，A(?1??2)线性无关的充要条件是
1?10?2??2?0.故应选(B).
【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念.
14…【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.
【详解】 由题设，存在初等矩阵E12（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 E12A?B，于是 B*?(E12A)*?A*E*12?A*E12?E12 AE12??B,可见应选(C).
【评注】 注意伴随矩阵的运算性质：
**?1??A*E12，即
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AA*?A*A?AE，当A可逆时，A*?AA?1, (AB)*?B*A*.
15【分析】 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形.
【详解】 由于
xx?t?u0x?00f(x?t)dt??xf(u)(?du)??f(u)du,于是
0 limx?0?x(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dtx?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dt00xxx?f(u)du0x
? =limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=limx?0??x0x0f(t)dt
0f(u)du?xf(x)f(u)du?xf(x)? =limx?0x0f(t)dtxx?f(x)=
?x0f(u)duf(0)1?.
f(0)?f(0)2【评注】 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则
limx?0??x0x0f(t)dt=limx?0f(u)du?xf(x)f(x)1?.
f(x)?f(x)?xf?(x)2错误的原因：f(x)未必可导.
16…. 【分析】 利用定积分的几何意义可确定面积S1(x),S2(y)，再根据S1(x)?S2(y)建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系.
【详解】 如图，有
S1(x)? S2(y)?11xtt[e?(1?e)]dt?(e?x?1)， ?022x?y1(lnt??(t))dt，
y1x(e?x?1)?(lnt??(t))dt， 由题设，得 ?12y1x而y?e，于是(y?lny?1)??(lnt??(t))dt
12两边对y求导得
11(1?)?lny??(y)， 2yy?1. 2y故所求的函数关系为：x??(y)?lny?