内容发布更新时间 : 2025/2/8 6:32:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形

正弦定理、余弦定理高考真题

1、（06湖北卷）若?ABC的内角A满足sin2A?23，则sinA?cosA?

A.153 B．?153 C．553 D．?3

解：由sin2A＝2sinAcosA?0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA?0， 又(sinA?cosA)2?1?sin2A?53，故选A

2、（06安徽卷）如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于?A2B2C2的三个内角的正弦值，则

A．?A1B1C1和?A2B2C2都是锐角三角形 B．?A1B1C1和?A2B2C2都是钝角三角形

C．?A1B1C1是钝角三角形，?A2B2C2是锐角三角形 D．?A1B1C1是锐角三角形，?A2B2C2是钝角三角形 解：?A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则?ABC111是锐角三角形，若?A2B2C2??sinA???2?cosA1?sin(?A1)?A2?2?A1?2是锐角三角形，由??sinB????2?cosB1?sin(2?B1)，得??B2??B1，那么，???sinC2?cosC1?sin(??22?C1)???C?2?2?C1AB?2?2?C2?2，所以?A2B2C2是钝角三角形。故选D。

3、（06辽宁卷）?ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量

?p??(a?c,b),?q?(b?a,c?a),若?p?//?q,则角C的大小为

(A)? (B)? ?63 (C)

2 (D) 2?3 【解析】?p?//?q?(a?c)(c?a)?b(b?a)?b2?a2?c2?ab，利用余弦定理可得2cosC?1，即cosC?12?C??3，故选择答案B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。

4、（06辽宁卷）已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ） Ａ．3 152 Ｂ．3 Ｃ．158 Ｄ．7 解：依题意，结合图形可得2tanA15tanA2?2?15215，故tanA??15?15，1?tan2A152721?(15)选D

5、（06全国卷I）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB?

A．1 B324．4 C．4 D．23 解：?ABC中，a、b、c成等比数列，且c?2a，则b=2a，

cosB?a2?c2?b22ac=a2?4a2?2a234a2?4，选B. 6、06山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=?3,a=3,b=1，则c=

1

(A) 1 （B）2 （C）3—1 （D）3 解：由正弦定理得sinB＝12，又a?b，所以A?B，故B＝30?，所以C＝90?，故c＝2，选B

7、（06四川卷）设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，则

a2?b?b?c?是A?2B的

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 解析：设a,b,c分别是?ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a2?b?b?c?，

则sin2A?sinB(sinB?sinC)，则1?cos2a2?1?cos2B2?sinBsinC， ∴ 12(cos2B?cos2A)?sinBsinC，sin(B?A)sin(A?B)?sinBsinC，

又sin(A?B)?sinC，∴ sin(A?B)?sinB，∴ A?B?B，A?2B， 若△ABC中，A?2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到

a2?b?b?c?，

所以a2?b?b?c?是A?2B的充要条件，选A.

8、（06北京卷）在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则?B的大小是___________.

解： sinA:sinB:sinC?5:7:8?a?b?c＝5?7?8设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

由余弦定理可解得?B的大小为?3.

9、（06湖北卷）在?ABC中，已知a?334，b＝4，A＝30°，则sinB＝32 . 解：由正弦定理易得结论sinB＝32。 10、（06江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝

【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识

【正确解答】由正弦定理得，

ACsin45??BCsin60?解得AC?46 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其

夹角运用余弦定理

11、（06全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ． 解析: 由?ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=?可得?B??3

AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD?3。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，

则cos2C? .

解：由三角形面积公式，得

12BC?CA?sinC?20sinC?12，即sinC?35．

于是cos2C?1?2sin2C?7725从而应填25．

2

13、（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=?,∠ABC=?.

A （1）证明 α

sin??cos2??0; β （2）若AC=3DC,求B

?的值. 图

D

C

解：(1)．如图3，????2?(??2?)?2???2,?sin??sin(2???2)??cos2?，

即sin??cos2??0．

（2）．在?ABC中，由正弦定理得

DCACDCsin??sin(???),?sin??3DCsin?.?sin??3sin? 由(1)得sin???cos2?，?sin???3cos2???3(1?2sin2?),

即23sin2??sin??3?0.解得sin??32或sin???33．

?0????2?,s?i?n32???,? 3.14、（06江西卷）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

已知sinA?223， （1）求tan2B?C?sin2A22的值； （2）若a?2，S△ABC?2，求b的值．

解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝?，sinA?2213，所以cosA＝3，

则

sin2B＋Ctan2B＋C＋sin2A222＝＋sin2Acos2B＋C22

＝1－cos（B＋C）1＋cos（B＋C）＋12（1－cosA）＝1＋cosA1－cosA＋13＝73（2）因为S1122?ABC＝2，又S?ABC＝2bcsinA＝2bc?3，则bc＝3。 将a＝2，cosA＝1，c＝33b代入余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA中得

b4－6b2＋9＝0

解得b＝3

A15、（06江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，

M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过

?N△ABC的中心G，

MBDC设?MGA＝?（????2?33） （1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为?的函数 （2）求y＝

11S2＋2的最大值与最小值 1S2解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以 AG＝2?3?32＝33，?MAG＝6，

由正弦定理

GM＝GAsin?6sin（?－?－?得GM＝36）6sin（?＋?

6）3