内容发布更新时间 : 2024/5/22 17:30:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

平面几何的几个重要的定理（一）

梅涅劳斯定理

一、基础知识

梅涅劳斯定理 若直线l不经过△ABC的顶点，并且与△ABC的三边BC、CA、AB或它们

的延长线分别交于P、Q、R，则

BPCQAR???1 PCQARB

证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线

l的垂线的长度，则：

BPCQARhBhChA ??????1PCQARBhChAhB

梅涅劳斯定理的逆定理 设P、Q、R分别是△ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线

上的三点（并且P、Q、R三点中，位于△ABC边上的点的个数为

由和分比定理可得 ?R与R?重合

BPCQAR???1，则P、Q、R三点共线. PCQARBBPCQAR?证：设直线PQ与直线AB交于R?，于是由梅氏定理得：???1?PCQARBBPCQARAR?AR又???1，则：＝PCQARBR?BRB0或2），若

ARAR?＝ABAB ∴P、Q、R三点共线

二、典型例题与基本方法

1. 恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键

例1 如图，在四边形ABCD中，△ABD、△BCD、△ABC的面积之比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上，满足AM∶AC=CN∶CD，且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC和CD的中点. D N

A

C M

B

2. 梅涅劳斯定理的逆用（逆定理的应用）与迭用，是灵活应用梅氏定理的一种方法 例2 点P位于△ABC的外接圆上，ACA、AB引的垂线的垂足，1、B1、C1是从点P向BC、证明点A1、B1、C1共线.

BABP?|cos?PBC|

证：易得：1?, CA1CP?|cos?PCB|

CB1CP?|cos?PCA|?

AB1AP?|cos?PAC|

AC1AP?|cos?PAB| ?BC1PB?|cos?PBA|

将上面三个式子相乘，且?PAC??PBC,?PAB??PCB,?PCA??PBA?180?BA1CB1AC1??＝1CA1AB1BC1可得依梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线.三、解题思维策略分析

1. 寻求线段倍分的一座桥梁

例3 △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点；O是AM延长线上的一点，使得

OB⊥AB； Q为线段BC上不同于B和C的任意一点，E、F分别在直线AB、AC上使得E、Q、F是不同的和共线的．求证：

（1）若OQ?EF，则QE?QF；（2）若QE?QF，则OQ?EF.

2. 导出线段比例式的重要途径

例4 直角△ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的平分线，E点在AK上，D是AC

的中点，F是DE与CK的交点. 求证：BF//CE.

3. 论证点共线的重要方法

例5 设不等腰△ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，证明：

EF与CB，FD与AC，ED与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上.

BXCEAF

证：?ABC被直线XFE所截，由定理1可得：???1 XCEAFBBXFB

又AE?AF代人上式可得：＝ XCCECYDCAZEA

同理可得：＝＝ YAAFZBBDBXCYAZ

将上面三条式子相乘可得：???1 XCYAZB又X、Y、Z都不在?ABC的边上，由梅氏定理的逆定理可得X、Y、Z三点共线

例6 如图，△ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于点D、E、F，点X是△ABC的一

个内点，△XBC的内切圆也在点D处与BC边相切，并与CX、XB分别相切于点Y、 Z. 证明：EFZY是圆内接四边形.