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1997年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试
(10月5日上午8:00?10:00)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+?+xn，则下列结论正确的是 (A)x100??a，S100=2b?a (B)x100??b，S100?2b?a (C)x100??b，S100=b?a (D)x100??a，S100?b?a矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得=AECF=λ(0<λ<+EBFDA∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 (A)f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B)f(λ)在(0，+∞)单调减少
(C)f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D)f(λ)在(0，+∞)为常数
2
EBFCD3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97，则这样的数列共有 (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 4．在平面直角坐标系中，若方程m(x+y+2y+1)=(x－2y+3)表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞)酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 15152
5．设f(x)=x－πx，??arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，?=arccot(－)，则
3434
(A)f(α)>f(β)>f(?)>f(γ)(B)f(α)> f(?)>f(β)>f(γ)
(C)f(?)>f(α)>f(β)>f(γ)(D)f(?)>f(α)>f(γ)>f(β)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
(A)0条 (B)1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
二．填空题(每小题9分，共54分)
?(x－1)+1997(x－1)=－1，
1．设x，y为实数，且满足?则x+y?.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。 3
?(y－1)+1997(y－1)=1．
3
2
2
2
2．过双曲线x－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB| ?λ的直线l恰
2有3条，则λ=.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 1?3．已知复数z满足??2z+?=1，则z的幅角主值范围是．
2
y2
?z?
4．已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5精品文档
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次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 6．设a?logz+log[x(yz)?+1]，b?logx?+log(xyz+1)，c?logy+log[(xyz)?+1]，记a，b，c中最大数
1
1
1
为M，则M的最小值为．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z?，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 122
四、(本题满分20分)
设双曲线xy?1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(?1，?1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标． 精品文档
C2P(?1,?1)OC1 yππ x精品文档
五、(本题满分20分)
设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足
?
铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 ?11111
?a+a+a+a+a=4(a+a+a+a+a)=S．
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
a2a3a4a5
===， a1a2a3a4
其中S为实数且|S|≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
第二试
(10月5日上午10:30?12:30)
一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
二、（本题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z0=z1+z2+…+zn成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n.证明你的结论.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 精品文档
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