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湖南科技学院二○一五年 上 学期单元测试
计算机科学与技术专业 2014年级 高等数学（二）试题
考试类型：闭卷 试卷类型：A卷 考试时量： 120分钟
题 号 得 分 一 二 三 四 五 总分 统分人
阅卷人 复查人 33?y2 一 填空题（每空3分，共27分）
1
?1dy?0f(x,y)dx??0dx?3?x1f(x,y)dy
2 设L为圆周x?acost，y?asint(a?0,0?x?2?)，则ds?2?a
L?222 3 设L为球面x?y?z?1与平面x?y?z?0相交的圆周，则xds?0
?L 4 若曲线L是(x?1)2?y2?1，方向为逆时针，则
222?L(y?xe2y)dx?x2e2ydy???
25 设曲线L：x?y?a(a?0)，方向逆时针，则
?(xL?y2)dx? 0
22 6 设S是由柱面x?y?1和平面z?0及z?4所围成的闭曲面，方向取外侧，则
???xS2dydz?zdxdy?4?
11? 7 ?(5n?4)(5n?1) 5
n?1xn?1 8 幂级数?收敛区间为 [?1,1) nn?1?22 9 曲面z?x?y与平面z?9所围成的空间立体的体积用二重积分可表示为
V?2222(9?x?y)dxdy,D:x?y?9 ??D二、选择题（每小题3分，共24分）
1 用格林公式表示闭曲线L所围成的区域D的面积S? （ B ）
（A）
?xdy?ydx （B）?xdy （C）?LLLydx （D）?xdy?ydx
L 2 有分片光滑的闭曲面S所围成的立体的体积是 （ C ）
1 / 8
（A）（C）
??xdydz?ydzdx?zdxdy （B）??xdydz?ydzdx?zdxdy
SSSS??xdydz?ydzdx?zdxdy （D） ??xdydz?ydzdx
?n3 下列级数中条件收敛的是 （ B ）
???n1n1n1n（A） （B） （C） （D） (?1)(?1)(?1)(?1)????2n?1n(n?1)nnn?1n?1n?1n?14 下列选项中哪一个不是曲线积分
?Pdx?Qdy与路线无关的等价条件。 （ C ）
L (A)
?P?Q?P?Q (B) ?Pdx?Qdy?0 (C) (D) d??Pdx?Qdy ??L?y?x?x?y5设S：x2?y2?z2?1,(z?0)，S1为S在第五卦限中的部分，则有(C)
（A）（C）
??xdS?4??xdS （B） ??ydS?4??ydS
SS1SS1??zdS?4??zdS （D） ??xyzdSSS1S?4??xyzdS
S16 设S为球面x2?y2?z2?1，则曲面积分
??xyS2dS?（ D ）
（A）?1 （B）1 （C）2 （D）0
x2y2z2 7 设V:2?2?2?1，则???(z?1)dxdydz?（ A ）
abcV（A）?abc （B）3?abc （C）4?abc （D）0
43三、解答题（每小题7分，共42分）
1 设L是x?cost,y?sint上从t?0到t??的一段，求 解：原式? ??xdx?ydy。
L???0(?sintcost?sintcost)dt ?sin2tdt
?0 ?0
2 设L是顶点为O(0,0),A(1,0),B(0,1)所围成的三角形边界，求
?(x?y)ds
L 解： OA,OB,AB所在直线方程分别为y?0,x?0,x?y?1， 所以 原式?
?OA??OB??10AB
??xdx??ydy??ds
0AB12 / 8
?1? 3 求
2
2222D(x?y?y)dxdy，其中是(x?1)?y?1所围成的平面区域。 ??D 解：由题意知积分区域D关于x轴对称，所以
设x?rcos?,y?rsin?，则0?r??2cos?, 所以原式???ydxdy?0。 1分
D?2???3? 2分 2??3?22d???2cos?0r2dr
3?3282 ????cos3?d??
932 4 求
22222z?x?yV(x?y?z)dxdydz，是球面与锥面所围立体。 x?y?z?2???V 解：由对称性知
???(x?y)dxdydz?0，设
V x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos? 则 原式?34zdxdydz?d?cos?sin?d?r??????dr V0002??1 ???402?cos?sin?d???8
5 设V是锥面z?的外侧, 求
x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域, S是V的整个边界
??xdydz?ydzdx?zdxdy.
S解: 由高斯公式和球面坐标变换:x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?, 有
??xdydz?ydzdx?zdxdy?3???dxdydz
SV ?3?R?200rdr?4sin?d??d??2?(1?02?23)R 2注: 三重积分还可以柱面坐标变换和截面法求.
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