内容发布更新时间 : 2025/1/7 6:47:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

【分析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；

（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；

②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用

，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入

直线y=kx即可求出k的值．

【解答】解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点， ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4）， 又∵抛物线过A，C两点，

∴

∴抛物线的解析式为（2）①如图1 ∵

，

，解得：

．

，

∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．

∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上， ∴PQ∥AO，PQ=AO=4． ∵P，Q都在抛物线上， ∴P，Q关于直线x=﹣1对称， ∴P点的横坐标是﹣3， ∴当x=﹣3时，∴P点的坐标是

；

，

②过P点作PF∥OC交AC于点F， ∵PF∥OC， ∴△PEF∽△OEC， ∴又∵∴

， ．

，

设点F（x，x+4）， ∴

，

化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 当x=﹣1时，即P点坐标是

；当x=﹣3时，

或

．

，

又∵点P在直线y=kx上， ∴

．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，题目综合性较强，难度不大，是一道很好的中考题．