内容发布更新时间 : 2024/9/19 6:14:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 函数的应用
1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2
ωx11
＋sinωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)222
内没有零点，则ω的取值范围是__________． 115
0，?∪?，? 答案 ??8??48?1－cosωx11
解析 f(x)＝＋sinωx－
222π12
ωx－?. ＝(sinωx－cosωx)＝sin?4??22因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点， Tπ
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
2ω
πππ
ωπ－，2ωπ－?，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－当x∈(π，2π)时，ωx－∈?44?4?ππk11
115 所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，0<ω≤或≤ω≤. 848 2 ?a－3?x＋3a，x<0，?x＋?4?2．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝ (a>0，且a≠1)在R上单??loga?x＋1?＋1，x≥0 调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是____________． 12??3? ??答案 ??3，3?∪?4? 解析 由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0 0＋?4a－3?·0＋3a≥f?0?＝1，?? 又由f(x)在R上单调递减，则?3－4a ≥0，??213 ?≤a≤. 34 如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象． 2 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x同2 样有且仅有一个解．当3a>2，即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a 33 －2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)； 412 当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件． 3312??3? ??综上所述，a∈??3，3?∪4. ?? ??|x|，x≤m， 3．(2016·山东)已知函数f(x)＝?2其中m>0，若存在实数b，使得关于 ?x－2mx＋4m，x>m，? x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． 答案 (3，＋∞) 解析 如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3. 4．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时 间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝ 76000v . v＋18v＋20l 2(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时； (2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时． 答案 (1)1900 (2)100 解析 (1)当l＝6.05时，F＝＝ 76000 ≤121 v＋＋182v 76000v v＋18v＋121 27600076000 ＝＝1900. 22＋18121v·＋18v 当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时． 76000v76000 (2)当l＝5时，F＝2＝ 100v＋18v＋100 v＋＋18 v≤2 7600076000 ＝＝2000. 20＋18100v·＋18v 当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时． 比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题. 热点一 函数的零点 1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 例1 (1)函数f(x)＝log2(x＋2)－x2的零点个数为________． (2)函数f(x)＝3x＋x2－4的零点个数是________． － 答案 (1)2 (2)2 解析 (1)令f(x)＝log2(x＋2)－x2＝0，log2(x＋2)＝x2，分别画出左右两个图象如图所示，由此可知这两个图象有两个交点，也即原函数有两个零点． (2)f(x)＝3x＋x2－4的零点个数，即方程3x＝4－x2的根的个数，即函数 － － 11－ y＝3x＝()x与y＝4－x2图象的交点个数．作出函数y＝()x与y＝4－x2 33的图象，如图所示，可得函数f(x)的零点个数为2. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解． 跟踪演练1 (1)函数f(x)＝x2－4x＋5－2lnx的零点个数为________． 2 ??x＋2x，x≤0， (2)已知函数f(x)＝?则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为________． ?|lgx|，x>0，? 答案 (1)2 (2)3 1 解析 (1)由题意可得x＞0，求函数f(x)＝x2－4x＋5－2lnx的零点个数，即求方程lnx＝(x 2111 －2)2＋的解的个数，数形结合(图略)可得，函数y＝lnx的图象和函数y＝(x－2)2＋的图222象有2个交点， 则f(x)＝x2－4x＋5－2lnx有2个零点． (2)函数g(x)的零点个数，即函数y＝f(1－x)的图象与直线y＝1的交点个数．令t＝1－x，则 ?－t?2＋2?1－t?，t≥1，??1?f(t)＝ ?－t?，|t<1.?|lg?1 作出函数y＝f(t)的图象，与直线y＝1有3个交点， 故g(x)有3个零点． 热点二 函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解． ?a－|x＋1|，x≤1，?例2 (1)已知函数f(x)＝?函数g(x)＝2－f(x) ，若函数y＝f(x)－g(x)恰有2 ??x－a?，x>1，? 4个零点，则实数a的取值范围是________． ?ex，x≤1，? (2)已知函数f(x)＝?g(x)＝kx＋1，若方程f(x)－g(x)＝0有两个不同的实根， ?f?x－1?，x>1，? 则实数k的取值范围是________． e－1 答案 (1)(2,3] (2)(，1)∪(1，e－1] 2 解析 (1)由题意当y＝f(x)－g(x)＝2[f?x?－1]＝0时，即方程f(x)＝1有4个解.又由函数y ??a－|x＋1|，x≤1， ＝a－|x＋1|与函数y＝(x－a)的大致形状可知，直线y＝1与函数f(x)＝?的2 ??x－a?，x>1? 2 左右两支曲线都有两个交点，如图所示. 2 ?1－a?>1，?? ，那么，有?f?－1?>1 ?，?f?1?≤1a>2或a<0，?? 即?a>1，??a－2≤1， 解得2 (2)画出函数f(x)的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g(x)＝kx＋1的图象过A(1，e－1e)，B(2，e)时直线斜率k1＝e－1，k2＝，并且当k＝1时，直线y＝x＋1与曲线y＝ex相 2e－1 切于点(0,1)，则得到当函数f(x)与g(x)图象有两个交点时，实数k的取值范围是(，1)∪(1， 2e－1]. 思维升华 (1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数；(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域． 跟踪演练2 (1)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是______________________． ?2x－a，x≥3，? (2)已知函数f(x)＝?若函数f(x)在R上有三个不同的零点，则a的取值范围 ?ln|x－1|，x<3，? 是__________． 答案 (1)(－∞，2ln2－2] (2)[8，＋∞) 解析 (1)f′(x)＝ex－2，当x∈(－∞，ln2)时，f′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2＋a.由于a≤2ln2－2. (2)当x<3时，令ln|x－1|＝0，求得x＝0或x＝2， 即f(x)在(－∞，3)上有两个不同的零点． 由题意，知f(x)＝2x－a在[3，＋∞)上有且仅有一个零点，则由f(x)＝0，得a＝2x∈[8，＋∞)． 热点三 函数的实际应用问题 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步 aaf()?e2?0,所以f(x)有零点当且仅当2－2ln2＋a≤0，所以2