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典型高考数学试题解读与变式2018版

考点38 圆锥曲线中的范围与最值问题

【考纲要求】

应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值． 【命题规律】

圆锥曲线中的范围与最值问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大. 【典型高考试题变式】 （一）离心率的范围

x2例1.【2017课标卷】若a?1，则双曲线2?y2?1的离心率的取值范围是（ ）

aA. (2,??) B. (2,2) C. (1,2) D. (1,2) 【答案】C

1c2a2?111?1??2，则1?e?2，故选C. 【解析】由题意e?2?，因为，所以a?1?1?222aaaa2【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

x2y2【变式1】【2016湖南长沙市月考】设F1,F2是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的两个焦点，P在双曲

ab线上，若PF1?PF2?0,|PF1|?|PF2|?2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）

A．3?13?15?1 B． C．2 D． 222【答案】D

【解析】由题意得，?PF1F2是直角三角形，由勾股定理得

?2c?22?|PF1|2?|PF2|2?|PF1?PF2|2?2|PF1||PF2|?4a2?4ac，

22∴c?ac?a?0，∴e?e?1?0，∵e?1，∴e?5?1．故选D． 2

x2y2

【变式2】已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使

ab，则该椭圆离心率的取值范围为( )

sin∠PF1F2sin∠PF2F1

A．(0，2－1) B.(【答案】D

【解析】根据正弦定理得

|PF2||PF1|

＝，

sin ∠PF1F2sin∠PF2F1

a＝

c22,1) C.(0,) D．(2－1,1) 22acac|PF1|c所以由＝可得＝，即＝＝e，

sin∠PF1F2sin∠PF2F1|PF2||PF1||PF2|a所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，则|PF2|＝因为a－c<|PF2|

??

即???

2a， e＋1

2ac2c2

＋e2

－e＋e，

，

解得2－1

（二）参数的范围

x2y2例2.【2017课标卷】设A、B是椭圆C：?若C上存在点M满足∠AMB=120°，?1长轴的两个端点，

3m则m的取值范围是（ ）

A．(0,1][9,??) C．(0,1][4,??) 【答案】A

【解析】当0?m?3，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足?AMB?120，则

B．(0,3][9,??) D．(0,3][4,??)

a?tan60?3，b即

3?3，得0?m?1；当m?3，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足?AMB?120，则m3，即a?tan60?bm?3，得m?9，故m的取值范围为(0,1]?[9,??)，选A． 3【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条

件确定a,b的关系，求解时充分借助题设条件?AMB?120?转化为

a?tan60??3，这是简化本题求解b过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．

【变式1】【2017江苏卷】在平面直角坐标系xOy中,A(?12,0),B(0,6),点P在圆O：x2?y2?50上,若

PA?PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 . 【答案】[?52,1]

【解析】设P?x,y?，由PA?PB?20，易得2x?y?5?0，

由??2x?y?5?022?x?y?50，可得A:??x??5?x?1或B:?，

?y??5?y?7由2x?y?5?0得P点在圆左边弧AB上，结合限制条件?52剟x52，

?可得点P横坐标的取值范围为???52,1?.

x2y2?2?1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为【变式2】【2016新课标卷】已知方程2m?n3m?n4,则n的取值范围是( )

A.??1,3? B.?1,3 C.?0,3? D.0,3 【答案】A

x2y2【解析】2?2?1表示双曲线,则m2?n3m2?n?0

m?n3m?n????????∴?m2?n?3m2,由双曲线性质知：c2?m2?n?3m2?n?4m2,其中c是半焦距 ∴焦距2c?2?2m?4,解得m?1,∴?1?n?3,故选A．

【变式2】椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是

43[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）

133313

A．[，] B．[，] C．[，1] D．[，1]

248424【答案】B

【解析】由椭圆的标准方程，求出左右顶点分别为A1(?2,0),A2(2,0)，设P(x0,y0)(x0??2)，

????x2y2

x02y02y0y0y02??1……①；而PA1?,PA2?则，则PA1?PA2?2， 43x0?2x0?2x0?4