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第九章 二重积分

【本章逻辑框架】

在直角坐标系中二重积分的计算 二重积分的概念与性质 二重积分的计算 在极坐标系中二重积分的计算 二重积分的应用 【本章学习目标】

⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1 二重积分的概念与性质

【学习方法导引】

1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

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在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域??1,??2,,??n的分法要任意，二是在每个小区域??i上的点(?i,?i)???i的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值??0时总有同一个极限，才能称二元函数f(x,y)在区域D上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D上f(x,y)≥0，则??f(x,y)d?表示以区域D为底，以

Df(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当f(x,y)＝1时，??f(x,y)d?D表示平面区域D的面积。

(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重积分??f(x,y)d?的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

D(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则??f(x,y)d?表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和

D(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).

3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数

f(x,y)在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小

值，再应用估值不等式得到取值范围。

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【主要概念梳理】

1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.

分割 用任意两组曲线分割D成n个小区域??1,??2,,??n，同时用??i表示它们的面积，i?1,2,,n.其中任意两小块??i和??j(i?j)除边界外无公共点。??i既表示第i小块,又表示第i小块的面积. 近似、求和 对任意点(?i,?i)???i ,作和式?f(?i,?i)??i.

i?1n取极限 若?i为??i的直径，记??max{?1,?2,,?n},若极限

lim?f(?i,?i)??i

??0i?1n存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(?i,?i)的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分. 记为

?f(?,?). ??f(x,y)d??lim?D?0iii?1n称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，d?为面积微元(或面积元素).

2.二重积分

??f(x,y)d?的几何意义

D(1) 若在D上f(x,y)≥0，则??fxy(,d)D以f(x,y)?表示以区域D为底，

为曲顶的曲顶柱体的体积.

(2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重

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