内容发布更新时间 : 2024/5/3 1:39:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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轻松证全等

一、全等变换

全等变换是进行全等三角形综合应用时要重点掌握的内容。

全等变换是指将一个图形通过平移、旋转、翻折等方法改变图形位置，但形状、大小均不改变。 平移：将图形平行移动到另一位置。

相关定理：平行线间的平行线段相等，平行线间的距离相等。

旋转：图形绕某一点向某一方向旋转一定的角度。通常为60度或90度或180度。 翻折：将图形沿某一条线折叠。

二、全等三角形常用的辅助线

1. 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。倍长中线法通常是全等变换中的旋转思想的应用。

常用以下形式作辅助线

BDAC延长AD到E，使DE=AD，连接BE E AF 间接倍长作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接DE CBED 2. 分析证明一条线段等于两条线段和（差）的基本方法有两种： （1）补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段，使其为求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证中那一条线段相等。如图：延长AB，使BE=BD，连接DE，则AC=AB+BD。

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（2）截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。如图：在AC上截取AE=AB，连接DE，则AC=AE+EC=AB+BD。

方法归纳：

1. 注意图形是如何变换后全等的，特别注意旋转与翻折的区别。

2. 应用辅助线解决问题时，注意重新绘制图形，不要在习题上直接作线，这样不方便后面改动。 3. 认真读题目、分析已知是关键，注意题干中的条件变化，如中点是否始终在图形的变化中存在，直接影响到证明时是否使用中点这一条件。

技巧归纳：

（1）条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，证明两个三角形全等的条件比较充分。只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等。

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件。解这类问题的基本思路是：逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案。

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等。

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法

在近年中考中出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视。

总结：1. 充分理解全等变换的内容，理解图形变化前后的关系为全等。

2. 使用辅助线证明是解题的关键，需要通过不断的训练提高分析能力，掌握不同图形添加不同的辅助线作法。

例题1 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角教育配套资料K12

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顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E。则四边形AECF的面积是 。

E A D F B C

解析：根据全等三角形的判定可知△ADF与△ABE全等，所以四边形AECF的面积等于原正方形的面积。

答案：解：∵∠FAE=90°，∠DAB=90°，∴∠DAF=∠BAE

??ADF??ABE?90?AD?AB∵?，

??DAF??BAE?∴△ADF≌△ABE（ASA）

∴四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积， ∵正方形ABCD边长为4 ∴四边形AECF的面积＝16

点拨：本题主要考查全等三角形的判定以及图形转化的应用。

例题2 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数。

ADFBEC

解析：延长EB到G，使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题。

答案：解：延长EB到G，使得BG=DF， 在△ABG和△ADF中， 教育配套资料K12